[수학Ⅱ]6.적분 심화문제

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『적분』

 

적분 심화문제입니다.

심화문제 모두 본수학(수학Ⅱ)에서 발췌된 문제입니다.

 

 

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• 심화문제1
• 심화문제2
• 심화문제3

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심화문제1

 \(f(x)\)는 이차 이하의 다항식으로 나타내는 함수고 다음을 만족한다고 하자. $$\int_{-1}^{1}f(x)dx=0$$

 

이와 같은 모든 \(f(x)\)에 대해 다음의 부등식이 성립하는 상수 \(k\)중에 최소인 것을 구하여라. $$ \int_{-1}^{1}\{f(x)\}^{2}dx \leq k \int_{-1}^{1} \{f'(x)\}^{2}dx$$

 

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심화문제2

 \(\alpha, \; \beta\)를 실수라 하고 \(\alpha>1\)이라 하자. 곡선 \(C_{1},\;C_{2}\)를 다음과 같이 놓자. $$ C_{1}\; : \; y=\vert x^{2}-1\vert$$ $$ C_{1}\; : \; y=-(x-\alpha)^{2}+\beta$$ 곡선 \(C_{1},\;C_{2}\)가 점 \((\alpha, \beta)\)와 점 \((p,q)\) 두 점에서 만난다고 하자. 그리고 \(C_{1}\)과 \(C_{2}\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S_{1}\)이라 하고 \(x\)축, 직선 \(x=\alpha\) 및 \(C_{1}\)의 \(x \geq 1\)를 만족하는 부분으로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S_{2}\)라 하자.

 

(1) \(p\)를 \(\alpha\)를 이용하여 나타내고 \(0<p<1\)인 것을 보여라.

(2) \(S_{1}\)를 \(\alpha\)를 이용하여 나타내어라.

(3) \(S_{1}>S_{2}\)인 것을 보여라.

 

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심화문제3

 실수 \(t\)에 대해 두 점 \(P(t, t^{2}), Q(t+1, (t+1)^{2})\)를 생각하자. \(t\)가 \(-1\; \leq \; t \; \leq \; 0\)의 범위에서 움직일 때 선분 \(PQ\)가 통과하여 생기는 도형을 그리고 그 면적을 구하여라.

 

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