[수학Ⅱ]4.미분 심화문제

『미분』

 

미분 심화문제입니다.

심화문제 모두 본수학(수학Ⅱ)에서 발췌된 문제입니다.

 

 

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• 심화문제1
• 심화문제2
• 심화문제3

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심화문제1

$f(x)=x(x-1)(x+1)$이라 하자. 이 때 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) 함수 $y=f(x)$가 극대, 극소가 될 때의 $x$와 그 극댓값, 극솟값을 구하여라.

 

(2) $y=f(x)$의 그래프 개형을 그려라.

 

(3) $x$가 $|x-1|<\frac{1}{2}$를 만족할 때 점 $(x,f(x))$는 점 $(1,0)$를 중심으로 하는 반지름 3인 원 내부에 포함되는 것을 보여라.

 

(4) 1이하의 양의 수 $r$에 대해 $x$가 $|x-1|<r$의 범위를 움직일 때 점 $(x,f(x))$는 점 $(1,0)$를 중심으로 하는 반지름 $10r$인 원 내부에 포함되는 것을 보여라.

 

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심화문제2

 함수 $f(x)$가 모든 실수 $s,t$에 대해 $f(s+t)=f(s)+f(t)$를 만족할 때 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) $f(0)$를 구하여라.

 

(2) $f(x)$가 $x=0$에서 미분가능하면 $f(x)$는 모든 실수 $a$에 대해 $x=a$에서 미분가능한 것을 증명하여라.

 

(3) $f(x)$가 $x=0$에서 미분가능하고 $f^{\prime }(0)=0$일 때 $f(x)$를 구하여라.

 

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심화문제3

 $f(x)$는 $x\ne 0$인 실수 $x$에 대해 정의된 연속함수이며 $x\ne 0,y\ne 0$인 모든 실수 $x,y$에 대해 다음의 관계식을 만족한다. $$f(x)-f(y)=(x-y)f(x)f(y)$$

 

(1) $f(x)$는 $x\ne 0$인 $x$에 ㄷ해 미분가능한 것을 보이고 $f^{\prime }(x)$를 $f(x)$를 이용하여 나타내어라.

 

(2) 제 $n$차 도함수 $f^{(n)}(x)$를 $f(x)$와 $n$을 이용하여 나타내어라.

 

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