[수학Ⅱ]5.적분 연습문제

『적분』

 

적분 연습문제입니다.

연습문제 모두 본수학(수학Ⅱ)에서 발췌된 문제입니다.

 

 

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• 연습문제1
• 연습문제2
• 연습문제3

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연습문제1

$a>0$이라 하자. $y=x(a-x)$로 정해지는 곡선을 $C$라 하자. 그리고 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 면적을 2등분하도록 하는 원점을 지나는 직선을 $l$이라 하자. 그리고 $C$와 $l$과의 원점이외의 교점을 $P$라 하자. 게다가 $C$의 $P$에 대한 접선을 $m$이라 하자. 이 때 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) $C$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 면적을 구하여라.

(2) $P$의 좌표를 구하여라.

(3) $m$의 방정식을 구하여라.

(4) $y$축과 $C$와 $m$으로 둘러싸인 부분의 면적은 (1)에서 구한 값과 같은 것을 보여라.

 

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연습문제2

 양의 실수 $a$에 대해 함수 $f(x)$를 다음과 같이 정하자. $$x\le 0\text{일 때 }f(x)=2ax$$ $$x>0\text{일 때 }f(x)=x^2+ax$$

 

(1) 두 개의 곡선 $y=f(x)$와 $y=x^3$의 모든 교점의 $x$좌표를 구하여라.

(2) 정적분 $S={\int }_{-1}^1|x^3-f(x)|dx$를 구하여라.

(3) $a$가 양의 실수 전체를 움직일 때 $S$의 최솟값과 그 때의 $a$를 구하여라.

 

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연습문제3

 $f(x)$는 $x$의 4차식이고 $x^4$의 계수는 1이다. 좌표평면상의 곡선 $C:y=f(x)$는 두 점 $(0,0),(2,2)$를 지나고 이 두 점에서의 $C$의 접선은 동일한 직선 $l$이다.

 

(1) $f(x)$를 구하여라.

(2) $l$과 평행하고 $l$과 서로 다른 직선 $l^{\prime }$이 $C$에 접한다. $l^{\prime }$의 방정식을 구하여라.

(3) $l^{\prime }$과 $C$로 둘러싸인 두 개의 부분의 면적의 합을 구하여라.

 

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