[수학Ⅱ]5.적분 연습문제

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『적분』

 

적분 연습문제입니다.

연습문제 모두 본수학(수학Ⅱ)에서 발췌된 문제입니다.

 

 

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• 연습문제1
• 연습문제2
• 연습문제3

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연습문제1

\(a>0\)이라 하자. \(y=x(a-x)\)로 정해지는 곡선을 \(C\)라 하자. 그리고 \(C\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 면적을 2등분하도록 하는 원점을 지나는 직선을 \(l\)이라 하자. 그리고 \(C\)와 \(l\)과의 원점이외의 교점을 \(P\)라 하자. 게다가 \(C\)의 \(P\)에 대한 접선을 \(m\)이라 하자. 이 때 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) \(C\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 면적을 구하여라.

(2) \(P\)의 좌표를 구하여라.

(3) \(m\)의 방정식을 구하여라.

(4) \(y\)축과 \(C\)와 \(m\)으로 둘러싸인 부분의 면적은 (1)에서 구한 값과 같은 것을 보여라.

 

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연습문제2

 양의 실수 \(a\)에 대해 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 정하자. $$ x \leq 0 \text{일 때 }f(x)=2ax$$ $$ x > 0 \text{일 때 }f(x)=x^{2}+ax$$

 

(1) 두 개의 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=x^{3}\)의 모든 교점의 \(x\)좌표를 구하여라.

(2) 정적분 \(S=\int_{-1}^{1}\vert x^{3}-f(x)\vert dx\)를 구하여라.

(3) \(a\)가 양의 실수 전체를 움직일 때 \(S\)의 최솟값과 그 때의 \(a\)를 구하여라.

 

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연습문제3

 \(f(x)\)는 \(x\)의 4차식이고 \(x^{4}\)의 계수는 1이다. 좌표평면상의 곡선 \(C\; : \; y=f(x)\)는 두 점 \((0,0),\; (2,2)\)를 지나고 이 두 점에서의 \(C\)의 접선은 동일한 직선 \(l\)이다.

 

(1) \(f(x)\)를 구하여라.

(2) \(l\)과 평행하고 \(l\)과 서로 다른 직선 \(l'\)이 \(C\)에 접한다. \(l'\)의 방정식을 구하여라.

(3) \(l'\)과 \(C\)로 둘러싸인 두 개의 부분의 면적의 합을 구하여라.

 

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