[수학Ⅱ]4.샌드위치 정리

『빵 사이에 낀 햄』

햄버거는 빵과 빵 사이에 패티, 야채, 치즈 등 다양한 재료가 들어있습니다.

햄버거의 위의 빵과 아래 빵을 동시에 먹으면

자연스레 빵과 빵 사이에 있는 패티, 야채, 치즈등도 같이 먹을 수 있겠죠?

 

 

이와 같이 함수 사이에 끼어 버린 함수의 극한값을 구하는 방법을 샌드위치 정리라 합니다.

위의 빵과 아래 빵이 있는 것처럼 샌드위치 정리에 들어가기 전에 함수의 대소관계를 먼저 볼까요?

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• 함수의 극한과 대소관계
• 함수의 샌드위치 정리
• 분수함수의 극한이 수렴하기 위한 필요조건
• 연습문제

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여기 \(f(x)\)와 \(g(x)\)함수가 있다고 생각해봅시다.

함수 \(f(x)\)가 \(g(x)\)보다 크다는 것은 어떠한 \(x\)를 대입했을 때

\(f(x) > g(x)\)가 성립해야 한다는 것을 뜻합니다.

그러면 극한값의 크기도 비교 가능할까요?

 

함수의 극한과 대소관계

함수 \(f(x), g(x)\)에 대해 \(a\)에 가까운 \(x\)에서 항상 \(f(x)\leq g(x)\)가 성립할 때 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=\alpha\)이고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}g(x)=\beta\)이면 \(\alpha \leq \beta\)

 

 

 \(x\)를 \(a\)로 보낼 때, 그 때의 극값을 비교하기 위해선

모든 \(x\)에 대해 부등식을 확인할 필요가 없습니다!

\(x\)의 근처(또는 근방)만 비교해서 근처의 모든 \(x\)에 대해 부등호가 성립하면

당연히 \(a\)에서 성립한다는 내용입니다.

 

함수의 샌드위치 정리

이제 함수의 극한과 대소관계에 대해 알아봤으니

샌드위치 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다!

 

함수 \(f(x), g(x), F(x)\)에 대해 \(a\)에 가까운 \(x\)에서 항상 \(f(x)\leq F(x) \leq g(x)\)가 성립할 때 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\alpha\)이고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}g(x)=\alpha\)이면 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}F(x)=\alpha\)

 

 

샌드위치정리는 앞서 보인 함수의 극한과 대소관계를 두 번 이용한 것이라 볼 수 있어요!

\(f(x)\)와 \(F(x)\)그리고 \(g(x)\)와 \(F(x)\) 이렇게 두 번 사용한 정리입니다!

분수함수의 극한이 수렴하기 위한 필요조건

함수 \(f(x), g(x)\)에 대해 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}}\)가 \(\alpha\)에 수렴, 즉 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}}=\alpha\)라 하면 다음을 알 수 있다. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{g(x)}}=0\)이면 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}{f(x)}=0\)

 

 

분수 함수가 수렴할 때 분모가 0에 수렴하면

분자가 0에 수렴하지 않으면 발산해버리겠죠?

 

연습문제

(1) 샌드위치 정리는 수렴하는 극값을 찾는 정리이다. 그러면 수렴이 아닌 발산하는 경우도 구할 수 있을까?

(2) 분수함수의 극한이 수렴하기 위한 필요조건의 예시를 구하여라..

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