[수학Ⅱ]4.샌드위치 정리

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『빵 사이에 낀 햄』

햄버거는 빵과 빵 사이에 패티, 야채, 치즈 등 다양한 재료가 들어있습니다.

햄버거의 위의 빵과 아래 빵을 동시에 먹으면

자연스레 빵과 빵 사이에 있는 패티, 야채, 치즈등도 같이 먹을 수 있겠죠?

 

 

이와 같이 함수 사이에 끼어 버린 함수의 극한값을 구하는 방법을 샌드위치 정리라 합니다.

위의 빵과 아래 빵이 있는 것처럼 샌드위치 정리에 들어가기 전에 함수의 대소관계를 먼저 볼까요?

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• 함수의 극한과 대소관계
• 함수의 샌드위치 정리
• 분수함수의 극한이 수렴하기 위한 필요조건
• 연습문제

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여기 \(f(x)\)와 \(g(x)\)함수가 있다고 생각해봅시다.

함수 \(f(x)\)가 \(g(x)\)보다 크다는 것은 어떠한 \(x\)를 대입했을 때

\(f(x) > g(x)\)가 성립해야 한다는 것을 뜻합니다.

그러면 극한값의 크기도 비교 가능할까요?

 

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함수의 극한과 대소관계

함수 \(f(x), g(x)\)에 대해 \(a\)에 가까운 \(x\)에서 항상 \(f(x)\leq g(x)\)가 성립할 때 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=\alpha\)이고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}g(x)=\beta\)이면 \(\alpha \leq \beta\)

 

 

 \(x\)를 \(a\)로 보낼 때, 그 때의 극값을 비교하기 위해선

모든 \(x\)에 대해 부등식을 확인할 필요가 없습니다!

\(x\)의 근처(또는 근방)만 비교해서 근처의 모든 \(x\)에 대해 부등호가 성립하면

당연히 \(a\)에서 성립한다는 내용입니다.

 

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함수의 샌드위치 정리

이제 함수의 극한과 대소관계에 대해 알아봤으니

샌드위치 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다!

 

함수 \(f(x), g(x), F(x)\)에 대해 \(a\)에 가까운 \(x\)에서 항상 \(f(x)\leq F(x) \leq g(x)\)가 성립할 때 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\alpha\)이고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}g(x)=\alpha\)이면 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}F(x)=\alpha\)

 

 

샌드위치정리는 앞서 보인 함수의 극한과 대소관계를 두 번 이용한 것이라 볼 수 있어요!

\(f(x)\)와 \(F(x)\)그리고 \(g(x)\)와 \(F(x)\) 이렇게 두 번 사용한 정리입니다!

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분수함수의 극한이 수렴하기 위한 필요조건

함수 \(f(x), g(x)\)에 대해 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}}\)가 \(\alpha\)에 수렴, 즉 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}}=\alpha\)라 하면 다음을 알 수 있다. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{g(x)}}=0\)이면 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}{f(x)}=0\)

 

 

분수 함수가 수렴할 때 분모가 0에 수렴하면

분자가 0에 수렴하지 않으면 발산해버리겠죠?

 

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연습문제

(1) 샌드위치 정리는 수렴하는 극값을 찾는 정리이다. 그러면 수렴이 아닌 발산하는 경우도 구할 수 있을까?

(2) 분수함수의 극한이 수렴하기 위한 필요조건의 예시를 구하여라..

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