[수학Ⅱ]2.극한과 극한값

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『극한값이 존재한다!』

 

지난시간에 극한값에 대해 알아봤습니다.

마지막 설명에 극한값이 존재할 때를 봤는데

이번 시간에 극한값이 존재하지 않을 경우에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 한 쪽으로부터의 극한
• 한 쪽으로부터의 극한과 극한값
• 무한대와 함수의 극한
• 연습문제

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한 쪽으로부터의 극한

 함수 \(f(x)\)에 대해 다음과 같이 정의한다.

 

(1) \(x\)가 \(a\)보다 큰 값 \((a< x)\) 를 취하면서 무한히 \(a\)에 가까워질 때 \(f(x)\)가 무한히 \(\alpha\)에 가까워지면 \(\alpha\)를 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 \(f(x)\)의 우극한이라 하고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+0}}f(x)=\alpha \)라 한다. 그리고 극한이 양의 무한대, 음의 무한대가 되는 경우에는 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+0}}f(x)=\infty \), \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+0}}f(x)=-\infty \)와 같이 나타낸다.

 

(2) \(x\)가 \(a\)보다 작은 값 \((x< a)\)를 취하면서 무한히 \(a\)에 가까워질 때 \(f(x)\)가 무한히 \(\alpha\)에 가까워지면 \(\alpha\)를 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 \(f(x)\)의 좌극한이라 하고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a-0}}f(x)=\alpha \)라 한다. 그리고 극한이 양의 무한대, 음의 무한대가 되는 경우에는 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a-0}}f(x)=\infty \), \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a-0}}f(x)=-\infty \)와 같이 나타낸다.

 

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한 쪽으로부터의 극한과 극한값

\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=\alpha \)라는 것은 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+0}}f(x)=\alpha \)와 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a-0}}f(x)=\alpha \)가 존재해 모두 \(\alpha\)가 되는 것이다. 즉 \(x\rightarrow a\)일 때의 우극한과 좌극한이 모두 \(\alpha\)이다.

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+0}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a-0}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=\alpha $$

 

즉 다시 말하면 극한이 존재한다는 것은

좌극한과 우극한이 존재하여 두 개의 값이 같을 때 극한값이 존재한다.

라고 할 수 있습니다

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무한대와 함수의 극한

 양의 무한대와 함수의 극한

 

 함수 \(f(x)\)에 대해 \(x\)를 무한히 크게 할 때 \(f(x)\)가 일정한 값 \(\alpha\)에 무한히 가까워지면 함수 \(f(x)\)는 \(\alpha\)에 수렴한다고 하고 \(\alpha\)를 함수 \(f(x)\)의 극한값이라 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

\(x\rightarrow \infty\)일 때 \(f(x)\rightarrow \alpha\)또는 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}}f(x)=-\alpha \)

 

음의 무한대와 함수의 극한

 

 함수 \(f(x)\)에 대해 \(x\)를 무한히 작게 할 때 \(f(x)\)가 일정한 값 \(\alpha\)에 무한히 가까워지면 함수 \(f(x)\)는 \(\alpha\)에 수렴한다고 하고 \(\alpha\)를 함수 \(f(x)\)의 극한값이라 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

\(x\rightarrow -\infty\)일 때 \(f(x)\rightarrow \alpha\)또는 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}}f(x)=-\alpha \)

 

양의 무한대나 음의 무한대는 한 쪽에서밖에 접근할 수 없기 때문에

좌극한 또는 우극한 하나밖에 존재하지 않습니다.

따라서 이 경우는 좌극한 또는 우극한의 존재만으로 극한이 존재한다고 할 수 있습니다!

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연습문제

(1) 함수의 값이 정의되지 않아도 극한은 정의될 수 있는가?

(2) \(y=\tan x \)에서 \(x\rightarrow \cfrac{\pi}{2}\)일 때 극한값이 존재하는지 조사해보자.

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