[수학Ⅱ]3.함수의 극한의 성질

『무한대 더하기 무한대?』

 

무한대는 엄청 큰 상태를 뜻합니다.

그럼 무한대에도 사칙연산이 존재할까요?

 

 

이번 시간에서는 무한대의 사칙연산이라기 보다는

함수의 사칙연산에서 극한을 보낸 것이라 생각하면 됩니다.

 

 

그럼 함수의 극한에는 어떠한 성질이 있는지 한 번 보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 함수의 극한의 성질
• 양의 발산과 수렴이 있는 함수의 극한의 성질
• 양의 발산이 있는 함수의 극한의 성질
• 연습문제

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함수의 극한의 성질

 제곱근 함수 $f(x)$, $g(x)$가 수렴하고 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }$, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=\beta }$라 하자. 이 때 다음이 성립한다.

 

 

(1) $k$를 상수라 하고 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}kf(x)=k\alpha }$

 

(2) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)+g(x)\}=\alpha +\beta }$

 

(3) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)-g(x)\}=\alpha -\beta }$

 

(1), (2), (3)를 합쳐 실수 $s,t$에 대해 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{sf(x)+tg(x)\}=s\alpha +t\beta }$라 나타낸다.

 

(4) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)g(x)=\alpha \beta }$

 

(5) $\beta \ne 0$이면 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha }{\beta }}$

$\beta =0$일 때 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}}$는 $\alpha \ne 0$이면 발산, $\alpha =0$이면 부정형

 

 

여기서 중요한 것은 함수 $f(x),g(x)$가 모두 극값이 존재한다는 것입니다!

 

이 조건이 없으면 어떻게 되는지 예시문제를 통해 알아보면 될 것 같습니다!

 

그리고 부정형(不定)은 negative가 아닌 정의가 되어 있지 않다고 보시면 됩니다.

 

0을 0으로 나눈다는 것은 어떻게 될지 감이 안 잡히죠? 따라서 부정형으로 놓습니다!

 

양의 발산과 수렴이 있는 함수의 극한의 성질

 함수 $f(x)$가 상수 $\alpha$에 수렴하고 $g(x)$가 양의 무한대로 발산, 즉 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }$, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }}$라 하자. 이 때 다음이 성립한다.

 

(1) $k$를 상수라 하고 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}kg(x)}$는 $k>0$일 때 $\mathrm{\infty }$, $k=0$일 때 0, $k<0$일 때 $-\mathrm{\infty }$

(2) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)+g(x)\}=\mathrm{\infty }}$

(3) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)-g(x)\}=-\mathrm{\infty }}$

(4) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)g(x)\}}$는 $\alpha >0$이면 $\mathrm{\infty }$, $\alpha =0$이면 부정형, $\alpha <0$이면 $-\mathrm{\infty }$

(5) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0}$

(6) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)}{f(x)}}$는 발산

 

무한대에 아무리 큰 실수를 더하고 빼도 당연히 무한대가 되겠죠?

하지만 무한대에 0으로 곱하면 우리는 무한대인지 0이 되는지 가늠할 수 없습니다.

따라서 이 경우도 부정형이라 놓습니다.

양의 발산이 있는 함수의 극한의 성질

 함수 $f(x),g(x)$가 모두 양의 무한대로 발산, 즉 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },{\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }}}$라 하자. 이 때 다음이 성립한다.

 

 

(1) $k$를 상수라 할 때 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}kf(x)=}$는 $k>0$일 때 $\mathrm{\infty }$, $k=0$일 때 0, $k<0$일 때 $-\mathrm{\infty }$

 

(2) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)+g(x)\}=\mathrm{\infty }}$

 

(3) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)-g(x)\}}$는 부정형

 

(4) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)g(x)=\mathrm{\infty }}$

 

(5) ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}}$는 부정형

 

 

무한대 빼기 무한대는 음의 무한대인가 0인가 양의 무한대인가 가늠되지 않습니다.

 

이 경우도 마찬가지로 부정형에 포함됩니다.

연습문제

(1) $f(x)$와 $g(x)$가 수렴한다는 조건이 없을 때 함수의 사칙연산에 대해 극한은 분배법칙이 성립하지 않는 것을 예시를 들어 설명하여라. 예를들어 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{f(x)+g(x)\}\ne {\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)+{\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)}}}$

인 $f(x),g(x),\alpha$를 구하여라.

(2) 위에서 다룬 성질들을 실제 예를 통해 나타내어라.

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