[수학Ⅱ]3.함수의 극한의 성질

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『무한대 더하기 무한대?』

 

무한대는 엄청 큰 상태를 뜻합니다.

그럼 무한대에도 사칙연산이 존재할까요?

 

 

이번 시간에서는 무한대의 사칙연산이라기 보다는

함수의 사칙연산에서 극한을 보낸 것이라 생각하면 됩니다.

 

 

그럼 함수의 극한에는 어떠한 성질이 있는지 한 번 보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 함수의 극한의 성질
• 양의 발산과 수렴이 있는 함수의 극한의 성질
• 양의 발산이 있는 함수의 극한의 성질
• 연습문제

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함수의 극한의 성질

 제곱근 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 수렴하고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=\alpha\), \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}g(x)=\beta\)라 하자. 이 때 다음이 성립한다.

 

 

(1) \(k\)를 상수라 하고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}kf(x)=k\alpha\)

 

(2) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta\)

 

(3) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}\{f(x)-g(x)\}=\alpha-\beta\)

 

(1), (2), (3)를 합쳐 실수 \(s, t\)에 대해 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}\{sf(x)+tg(x)\}=s\alpha+t\beta\)라 나타낸다.

 

(4) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)g(x)=\alpha\beta\)

 

(5) \(\beta\neq0\)이면 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{\alpha}{\beta}\)

\(\beta=0\)일 때 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}\cfrac{f(x)}{g(x)}\)는 \(\alpha\neq0\)이면 발산, \(\alpha=0\)이면 부정형

 

 

여기서 중요한 것은 함수 \(f(x), g(x)\)가 모두 극값이 존재한다는 것입니다!

 

이 조건이 없으면 어떻게 되는지 예시문제를 통해 알아보면 될 것 같습니다!

 

그리고 부정형(不定)은 negative가 아닌 정의가 되어 있지 않다고 보시면 됩니다.

 

0을 0으로 나눈다는 것은 어떻게 될지 감이 안 잡히죠? 따라서 부정형으로 놓습니다!

 

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양의 발산과 수렴이 있는 함수의 극한의 성질

 함수 \(f(x)\)가 상수 \(\alpha\)에 수렴하고 \(g(x)\)가 양의 무한대로 발산, 즉 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\alpha\), \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}=\infty\)라 하자. 이 때 다음이 성립한다.

 

(1) \(k\)를 상수라 하고 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}kg(x)}\)는 \(k>0\)일 때 \(\infty\), \(k=0\)일 때 0, \(k<0\)일 때 \(-\infty\)

(2) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)+g(x)\}}=\infty\)

(3) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)-g(x)\}}=-\infty\)

(4) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)g(x)\}}\)는 \(\alpha>0\)이면 \(\infty\), \(\alpha=0\)이면 부정형, \(\alpha<0\)이면 \(-\infty\)

(5) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}}=0\)

(6) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{g(x)}{f(x)}}\)는 발산

 

무한대에 아무리 큰 실수를 더하고 빼도 당연히 무한대가 되겠죠?

하지만 무한대에 0으로 곱하면 우리는 무한대인지 0이 되는지 가늠할 수 없습니다.

따라서 이 경우도 부정형이라 놓습니다.

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양의 발산이 있는 함수의 극한의 성질

 함수 \(f(x), g(x)\)가 모두 양의 무한대로 발산, 즉 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\infty, \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}=\infty\)라 하자. 이 때 다음이 성립한다.

 

 

(1) \(k\)를 상수라 할 때 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}kf(x)=\)는 \(k>0\)일 때 \(\infty\), \(k=0\)일 때 0, \(k<0\)일 때 \(-\infty\)

 

(2) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)+g(x)\}}=\infty\)

 

(3) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)-g(x)\}}\)는 부정형

 

(4) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)}=\infty\)

 

(5) \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}}\)는 부정형

 

 

무한대 빼기 무한대는 음의 무한대인가 0인가 양의 무한대인가 가늠되지 않습니다.

 

이 경우도 마찬가지로 부정형에 포함됩니다.

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연습문제

(1) \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 수렴한다는 조건이 없을 때 함수의 사칙연산에 대해 극한은 분배법칙이 성립하지 않는 것을 예시를 들어 설명하여라. 예를들어 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)+g(x)\}}\neq\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}+\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}\)

인 \(f(x), g(x), \alpha\)를 구하여라.

(2) 위에서 다룬 성질들을 실제 예를 통해 나타내어라.

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