[수학Ⅱ]2.극한과 극한값

『극한값이 존재한다!』

 

지난시간에 극한값에 대해 알아봤습니다.

마지막 설명에 극한값이 존재할 때를 봤는데

이번 시간에 극한값이 존재하지 않을 경우에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 한 쪽으로부터의 극한
• 한 쪽으로부터의 극한과 극한값
• 무한대와 함수의 극한
• 연습문제

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한 쪽으로부터의 극한

 함수 $f(x)$에 대해 다음과 같이 정의한다.

 

(1) $x$가 $a$보다 큰 값 $(a<x)$ 를 취하면서 무한히 $a$에 가까워질 때 $f(x)$가 무한히 $\alpha$에 가까워지면 $\alpha$를 $x$가 $a$에 가까워질 때의 $f(x)$의 우극한이라 하고 ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)=\alpha }$라 한다. 그리고 극한이 양의 무한대, 음의 무한대가 되는 경우에는 ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$와 같이 나타낸다.

 

(2) $x$가 $a$보다 작은 값 $(x<a)$를 취하면서 무한히 $a$에 가까워질 때 $f(x)$가 무한히 $\alpha$에 가까워지면 $\alpha$를 $x$가 $a$에 가까워질 때의 $f(x)$의 좌극한이라 하고 ${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)=\alpha }$라 한다. 그리고 극한이 양의 무한대, 음의 무한대가 되는 경우에는 ${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$와 같이 나타낸다.

 

한 쪽으로부터의 극한과 극한값

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }$라는 것은 ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)=\alpha }$와 ${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)=\alpha }$가 존재해 모두 $\alpha$가 되는 것이다. 즉 $x\to a$일 때의 우극한과 좌극한이 모두 $\alpha$이다.

$${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)={\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)={\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }}}$$

 

즉 다시 말하면 극한이 존재한다는 것은

좌극한과 우극한이 존재하여 두 개의 값이 같을 때 극한값이 존재한다.

라고 할 수 있습니다

무한대와 함수의 극한

 양의 무한대와 함수의 극한

 

 함수 $f(x)$에 대해 $x$를 무한히 크게 할 때 $f(x)$가 일정한 값 $\alpha$에 무한히 가까워지면 함수 $f(x)$는 $\alpha$에 수렴한다고 하고 $\alpha$를 함수 $f(x)$의 극한값이라 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

$x\to \mathrm{\infty }$일 때 $f(x)\to \alpha$또는 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\alpha }$

 

음의 무한대와 함수의 극한

 

 함수 $f(x)$에 대해 $x$를 무한히 작게 할 때 $f(x)$가 일정한 값 $\alpha$에 무한히 가까워지면 함수 $f(x)$는 $\alpha$에 수렴한다고 하고 $\alpha$를 함수 $f(x)$의 극한값이라 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

$x\to -\mathrm{\infty }$일 때 $f(x)\to \alpha$또는 ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\alpha }$

 

양의 무한대나 음의 무한대는 한 쪽에서밖에 접근할 수 없기 때문에

좌극한 또는 우극한 하나밖에 존재하지 않습니다.

따라서 이 경우는 좌극한 또는 우극한의 존재만으로 극한이 존재한다고 할 수 있습니다!

연습문제

(1) 함수의 값이 정의되지 않아도 극한은 정의될 수 있는가?

(2) $y=\tan x$에서 $x\to \frac{\pi }{2}$일 때 극한값이 존재하는지 조사해보자.

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