[수학Ⅱ]5.함수의 연속과 성질

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『함수의 연속은 한붓그리기』

 

어렸을 때 우리 모두 한붓그리기를 해 본 기억이 있습니다.

연필이나 팬을 가지고 한 번에 도형을 그리는 것이였죠.

 

함수의 연속도 일종의 한붓그리기라 생각하면 될 것 같습니다!

어느 구간 사이에 연속이라 하면 구간의 처음부터 끝까지

끊어지지 않게 그릴 수 있어야 합니다.

 

 

실은 연속이라는 개념은 대학교 과정에 가면 여러가지가 있지만

고등학교 과정에서는 이 정도로 이해하면 될 것 같습니다!

 

 

그럼 함수의 연속에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다!

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• 함수의 연속과 불연속
• 함수의 사칙연산과 연속
• 연속함수
• 연습문제

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함수의 연속과 불연속

함수의 연속

 

 함수 \(f(x)\)의 정의역에 속하는 \(x\)의 값 \(a\)에 대해 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}}f(x)=f(a)\)일 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이라고 한다.

 

 함수의 불연속

 

 함수 \(f(x)\)의 정의역에 속하는 \(x\)의 값 \(a\)에 대해 연속이 아닐 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 불연속이라고 한다.

 

 

연속이라는 개념을 극한을 사용해서 나타내고 있습니다.

간단히 말하면 극값과 함수의 값이 같을 때 우리는 연속이라고 정의하고 있습니다.

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함수의 사칙연산과 연속

함수들의 사칙연산에서도 연속이라는 개념이 적용 될까요?

 함수 \(f(x), g(x)\)가 모두 \(x=a\)에서 연속이면 함수의 사칙연산 \(f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), \cfrac{f(x)}{g(x)}\)도 각각 \(x=a\)에서 연속이다. 단 \(\cfrac{f(x)}{g(x)}\)에 대해 \(g(a) \neq 0\)이다.

 

 

증명은 어렵지 않습니다.

연속인 것을 증명하려면 정의에 의해서 \(x=a\)에서 \(f(x)+g(x)\)가

연속이라는 것은 극값과 함수의 값이 같다는 것을 보이면 됩니다.

 

 

그런데 극한의 성질 중 극값이 있는 두 함수는 합도 같다는 성질이 있었죠?

따라서 \(x=a\)에서 \(f(x)+g(x)\)가 연속이라는 것은

극값과 함수의 값이 같다는 것을 알 수 있습니다.

 

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연속함수

 함수 \(f(x)\)가 정의역의 모든 \(x\)의 값에서 연속일 때 \(f(x)\)는 연속함수라고 한다.

 

 

위에서는 \(x=a\)의 특정한 값에 대해서 연속인 것을 정의하였습니다.

연속함수란 것은 특정 값이 아닌 모든 정의역에 대해서 연속인 함수를 연속함수라 합니다.

 

 

앞서 말했지만 연속이라는 개념은 대학과정에서 여러가지가 있습니다.

한 예시로 \(0 < x <1 \)(이것을 간단히 (0,1)이라 써요!)에서 정의된 \(y=\cfrac{1}{x}\)는 연속일까요?

앞서 연속은 한붓그리기라고 생각하면 된다고 했는데

\(x=0\)부분에서 한붓그리기가 가능은 하지만 무한히 그려야겠죠?

이런 함수는 연속이긴 하지만 일반적인 연속보다 더 강한 개념인

일양연속(一様連続, uniformly continuous)는 아니라고 합니다.

연습문제

(1) 함수의 사칙연산과 연속의 남은 성질에 대해 증명하여라.

(2) 연속함수가 아닌 함수를 하나 구하여라.

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