[수학Ⅱ]1.함수의 극한 정의

『저 멀리 떨어진 곳에 뭐가 있을까?』

 

수학 Ⅱ 단원이 시작되었습니다.

 

기본적인 미분과 적분을 다루기 이전에

중요한 개념인 극한의 개념에 대해 알아 볼 예정입니다.

 

극한(極限)이란 극도의 한계라는 뜻으로

여기서는 무한대라 생각하면 쉽겠습니다!

 

무한대는 사람이 상상할 수 없는 저 미지의 세계와 같은데

실제 볼 수는 없지만 저 끝에 무엇이 있을지 추측을 하는 과정이라 생각하면 됩니다.

 

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 함수의 극한
• 무한대로 발산하는 함수
• 극한이 없는 경우
• 연습문제

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여기 $y=\frac{1}{x}$이라는 함수가 있습니다.

$x$가 점점 커지면 $y$의 값은 어떻게 될까요?

 

 

$x$가 10. 100 1000 $\cdots$가 되면 $y$는 0.1, 0.01, 0.001 $\cdots$이 됩니다.

점점 $x$가 커지면 커질수록 $y$는 0에 가까워지지만 결코 0이 되지는 않습니다.

 

 

그런데 무한대의 개념을 도입 즉 $x$가 무한대라는

엄청 큰 수를 뛰어 넘는 개념이라면 $y$는 0이 될 수 있습니다.

 

 

이와 같이 무한대는 직접 확인할 수 없지만 추측이 가능한 개념입니다.

 

함수의 극한

 함수 $f(x)$에 대해 $x$가 $a$와 서로 다른 값을 가지면서 무한히 $a$에 가까워질 때 $f(x)$가 일정한 값 $\alpha$에 무한히 가까워지면 함수 $f(x)$는 $\alpha$에 수렴한다고 하고 $\alpha$를 $x$가 $a$에 무한히 가까워질 때의 함수 $f(x)$의 극한값이라 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

$x\to a$일 때 $f(x)\to \alpha$ 또는 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }$

 

화살표 기호는 세계적으로 이동방향을 뜻하죠.

마찬가지로 수학에서 화살표는 이동한다는 뜻입니다.

단 정의에서 써져있듯이 무한히 가까워진다는 것이 중요해요!

예를들어 3이 정의되어 있지 않는 곳에 $x$가 3에 무한히 가까워질 수 있죠!

그럼 이것은 거의 3이라 봐도 무방하겠죠?

 

무한대로 발산하는 함수

 양의 무한대로 발산하는 함수

 

함수 $f(x)$에 대해 $x$가 $a$와 서로 다른 값을 가지면서 무한히 $a$에 가까워질 때 $f(x)$의 값이 무한히 커지면 $f(x)$는 양의 무한대로 발산한다고 한다. 또는 극한은 $\mathrm{\infty }$ 라고도 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

$x\to a$일 때 $f(x)\to \mathrm{\infty }$ 또는 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$

 

 음의 무한대로 발산하는 함수

 

함수 $f(x)$에 대해 $x$가 $a$와 서로 다른 값을 가지면서 무한히 $a$에 가까워질 때 $f(x)$가 음수면서 그 절댓값이 무한히 커지면 $f(x)$는 음의 무한대로 발산한다고 한다. 또는 극한은 $-\mathrm{\infty }$ 라고도 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

$x\to a$일 때 $f(x)\to -\mathrm{\infty }$ 또는 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$

 

$y=x,y=-x$와 같은 경우 $x$가 점점 커지면

$y$는 각각 양의 무한대와 음의 무한대로 갑니다.

극한이 없는 경우

함수 $f(x)$에 대해 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }$, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$ 중 어느 경우도 해당하지 않는 경우 $x\to a$일 때 $f(x)$의 극한값은 없다고 한다.

 

 

예를 들기 위해서는 나중에 배울 좌극한, 우극한의 개념이 필요합니다!

좌극한과 우극한을 배우면 조금 이해하기 쉬울거예요!

 

연습문제

(1) $y=\sin x$와 $y=\cos x$의 $x\to 0$일 때 극한값을 구하여라.

 

 

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