[수학Ⅱ]6.최댓값과 최솟값의 정리

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『연속함수의 중요한 성질』

 

앞서 함수의 연속이라는 개념에 대해 알아봤습니다.

함수가 연속한다는 것은 함수의 성질 중에 대단히 중요한 개념인데요.

 

 

그런 연속함수 중에 중요한 정리중 하나인

최댓값과 최솟값의 원리에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

그 전에 이제부터 특정 구간에 대해 정의된 함수를 다룰 예정이므로

여러가지 구간에 대해 알아보도록 하겠습니다.

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 개구간과 폐구간
• 여러가지 구간
• 최댓값과 최솟값의 정리
• 연습문제

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정의역은 함수가 정의된 곳인데요.

이 정의역을 일반적인 실수가 아닌 특정 구간에서만 다룰 수 있겠죠?

 

 

구간이 정해지면 함수를 다루기 훨씬 쉬워질 수 있어요!

구간이란 부등식을 만족하는 값의 범위라고 정의합니다.

 

 

그럼 구간에는 어떤 종류의 구간이 있는지 한 번 보도록 하겠습니다.

 

개구간과 폐구간

 구간 \(0<x<b\)를 \((a, b)\)라 나타내며 개구간이라 한다. 구간 \(a \leq x \leq b\)를 \([a, b]\)라 나타내며 폐구간이라 한다.

 

 

개(開)구간은 열려있다는 뜻이고 폐(閉)는 닫혀있다는 뜻입니다.

구간이 열려있다는 것은 \(a, b\)를 포함하지는 않지만

되게 가까운 실수까지 포함하겠다는 뜻이고

구간이 닫혀있다는 것은 딱 \(a,b\)를 포함한 범위를 나타내겠다는 것이죠.

무엇이 개구간이고 폐구간인지 어려우시면 []이 기호를 반대로 쓴 ][는

폐구간의 ㅍ와 비슷하게 생겼으니 이렇게 외우면 쉽겠죠?

 

여러가지 구간

(1) \(a \leq x < b\)를 \([a,b)\)

(2) \(a < x \leq b\)를 \((a,b]\)

(3) \(a < x \)를 \((a, \infty)\)

(4) \(a \leq x\) 를 \([a, \infty)\)

(5) \(x < b\)를 \((-\infty, b)\)

(6) \(x\leq b\)를 \(-(\infty, b]\)

(7)실수 전체를 하나의 구간이라 생각해 \((-\infty, \infty)\)라 나타낸다.

 

 

 

위의 구간들은 개구간과 폐구간을 조합한 구간입니다.

특히 무한대를 포함하는 개구간은 반개구간, 무한대를 포함하는 폐구간은 반폐구간이라고 합니다.

최댓값과 최솟값의 정리

 폐구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 즉 \([a, b]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)는 \(f(x) \leq M\)이고 \(f(x)=M\)을 만족하는\(x\)가 존재하고 \(f(x) \geq m\)이고 \(f(x) =m\)를 만족하는 \(x\)가 존재한다. 즉 \(f(x)\)는 최댓값 \(M \)과 최솟값 \(m\)을 갖는다.

 

연속이라는 개념은 한붓그리기와 같다고 설명했습니다.

폐구간에서 연속인 함수는 구간의 처음부터 끝까지 한붓으로 그을 수 있기 때문에

구간 내에서 최댓값과 최솟값이 존재한다는 것이 최댓값과 최솟값의 정리입니다.

연습문제

(1) 여러가지 구간을 합한 구간을 표시할 때는 집합기호를 사용한다. \([1,2]\)와 \([3,4]\)를 나타내는 구간을 집합기호를 사용하여 나타내어라.

(2) 개구간에서는 최댓값과 최솟값의 정리가 성립하지 않는 예시를 하나 들어라.

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