[수학Ⅱ]1.함수의 극한 정의

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『저 멀리 떨어진 곳에 뭐가 있을까?』

 

수학 Ⅱ 단원이 시작되었습니다.

 

기본적인 미분과 적분을 다루기 이전에

중요한 개념인 극한의 개념에 대해 알아 볼 예정입니다.

 

극한(極限)이란 극도의 한계라는 뜻으로

여기서는 무한대라 생각하면 쉽겠습니다!

 

무한대는 사람이 상상할 수 없는 저 미지의 세계와 같은데

실제 볼 수는 없지만 저 끝에 무엇이 있을지 추측을 하는 과정이라 생각하면 됩니다.

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 함수의 극한
• 무한대로 발산하는 함수
• 극한이 없는 경우
• 연습문제

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여기 \(y=\cfrac{1}{x}\)이라는 함수가 있습니다.

\(x\)가 점점 커지면 \(y\)의 값은 어떻게 될까요?

 

 

\(x\)가 10. 100 1000 \(\cdots\)가 되면 \(y\)는 0.1, 0.01, 0.001 \(\cdots\)이 됩니다.

점점 \(x\)가 커지면 커질수록 \(y\)는 0에 가까워지지만 결코 0이 되지는 않습니다.

 

 

그런데 무한대의 개념을 도입 즉 \(x\)가 무한대라는

엄청 큰 수를 뛰어 넘는 개념이라면 \(y\)는 0이 될 수 있습니다.

 

 

이와 같이 무한대는 직접 확인할 수 없지만 추측이 가능한 개념입니다.

 

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함수의 극한

 함수 \(f(x)\)에 대해 \(x\)가 \(a\)와 서로 다른 값을 가지면서 무한히 \(a\)에 가까워질 때 \(f(x)\)가 일정한 값 \(\alpha\)에 무한히 가까워지면 함수 \(f(x)\)는 \(\alpha\)에 수렴한다고 하고 \(\alpha\)를 \(x\)가 \(a\)에 무한히 가까워질 때의 함수 \(f(x)\)의 극한값이라 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

\(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)\rightarrow\alpha\) 또는 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha}\)

 

화살표 기호는 세계적으로 이동방향을 뜻하죠.

마찬가지로 수학에서 화살표는 이동한다는 뜻입니다.

단 정의에서 써져있듯이 무한히 가까워진다는 것이 중요해요!

예를들어 3이 정의되어 있지 않는 곳에 \(x\)가 3에 무한히 가까워질 수 있죠!

그럼 이것은 거의 3이라 봐도 무방하겠죠?

 

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무한대로 발산하는 함수

 양의 무한대로 발산하는 함수

 

함수 \(f(x)\)에 대해 \(x\)가 \(a\)와 서로 다른 값을 가지면서 무한히 \(a\)에 가까워질 때 \(f(x)\)의 값이 무한히 커지면 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산한다고 한다. 또는 극한은 \(\infty\) 라고도 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

\(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)\rightarrow\infty\) 또는 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty}\)

 

 음의 무한대로 발산하는 함수

 

함수 \(f(x)\)에 대해 \(x\)가 \(a\)와 서로 다른 값을 가지면서 무한히 \(a\)에 가까워질 때 \(f(x)\)가 음수면서 그 절댓값이 무한히 커지면 \(f(x)\)는 음의 무한대로 발산한다고 한다. 또는 극한은 \(-\infty\) 라고도 한다. 이 때 다음과 같이 나타낸다.

 

\(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)\rightarrow -\infty\) 또는 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty}\)

 

\(y=x, y=-x\)와 같은 경우 \(x\)가 점점 커지면

\(y\)는 각각 양의 무한대와 음의 무한대로 갑니다.

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극한이 없는 경우

함수 \(f(x)\)에 대해 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha}\), \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty}\), \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty}\) 중 어느 경우도 해당하지 않는 경우 \(x \rightarrow a\)일 때 \(f(x)\)의 극한값은 없다고 한다.

 

 

예를 들기 위해서는 나중에 배울 좌극한, 우극한의 개념이 필요합니다!

좌극한과 우극한을 배우면 조금 이해하기 쉬울거예요!

 

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연습문제

(1) \(y=\sin x\)와 \(y=\cos x\)의 \(x \rightarrow 0\)일 때 극한값을 구하여라.

 

 

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