[수학Ⅱ]20.적분공식-포물선과 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

『이 공식도 외워두면 편해요!』

 

지난 시간에 이어 오늘도 필요한 공식을 소개해드리려고 합니다!

포물선과 접선으로 둘러싸인 도형의 면적입니다.

 

 

이것을 응용하면 두 개의 포물선사이의 공통접선에 대한 면적을 구할 수 있습니다.

그리고 3차 이상의 함수에 대해서는 어떻게 되는지 한 번 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 3차 이상의 함수 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 좌표평면에 포물선 \(y=ax^{2}+bx+c\; (a\neq0)\)상의 \(x\)좌표가 \(\alpha,\; \beta \; (\alpha  <\; \beta)\)가 되는 점을 각각 \(A,\; B\)라 하고 \(A,\; B\)에 대한 포물선의 접선을 각각 \(l_{A},\; l_{B}\)라 하자. \(l_{A},\; l_{B}\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(\cfrac{\alpha+\beta}{2}\)이고 포물선과 직선 \(AB\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\), 포물선과 \(l_{A},\; l_{B}\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(T\)라 하면 다음을 알 수 있다. $$S=\cfrac{\vert a \vert}{6}(\beta-\alpha)^{3}$$ $$T=\cfrac{\vert a \vert}{12}(\beta-\alpha)^{3}$$ 이 때 \(\alpha, \beta\)에 관계없이 다음이 성립한다. $$S:T=2:1$$

포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

 

같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 좌표평면에 같은 형태의 포물선이 있다고 하자.

 

\(y=ax^{2}+bx+c \;(a \neq 0)\)

\(y=ax^{2}+Bx+C\)

 

두 포물선의 공통접선을 \(l\)이라 하고 두 포물선과 \(l\)의 교점의 \(x\)좌표를 각각 \(\alpha, \; \beta \; (\alpha<\beta)\)라 하자. 이 때 두 포물선의 교점의 \(x\)좌표는 \(\cfrac{\alpha+\beta}{2}\)이고 두 포물선과 \(l\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(T\)라 하면 다음과 같다. $$T=\cfrac{\vert a \vert}{12}(\beta-\alpha)^{3}$$

같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

 

 

3차 이상의 함수 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

(1) 3차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

$$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d \; (a\neq0)$$

$$y=mx+n$$

좌표평면에 3차함수의 그래프와 직선이 \(x\)좌표가 \(\alpha\)의 점에서 접하고 \(x\)좌표가 \(\beta\)의 점에서 교점을 갖는다고 하자. 이 때 3차함수와 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다. $$S=\cfrac{\vert a \vert }{12}(\beta-\alpha)^{4}$$

 

3차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

(2) 4차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

$$y=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e \; (a\neq0)$$

$$y=mx+n$$

좌표평면에 4차함수의 그래프와 직선이 \(x\)좌표가 \(\alpha\)의 점에서 접하고 \(x\)좌표가 \(\beta\)의 점에서 교점을 갖는다고 하자. 이 때 4차함수와 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다. $$S=\cfrac{\vert a \vert }{30}(\beta-\alpha)^{5}$$

 

4차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

 

 

연습문제

(1) 포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하여라. 그리고 그것을 이용하여 같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적를 증명하여라.

(2) 3차 이상의 함수 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하여라.

 

 

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