[수학Ⅱ]20.적분공식-포물선과 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

『이 공식도 외워두면 편해요!』

 

지난 시간에 이어 오늘도 필요한 공식을 소개해드리려고 합니다!

포물선과 접선으로 둘러싸인 도형의 면적입니다.

 

 

이것을 응용하면 두 개의 포물선사이의 공통접선에 대한 면적을 구할 수 있습니다.

그리고 3차 이상의 함수에 대해서는 어떻게 되는지 한 번 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 3차 이상의 함수 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 좌표평면에 포물선 $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$상의 $x$좌표가 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$가 되는 점을 각각 $A,B$라 하고 $A,B$에 대한 포물선의 접선을 각각 $l_A,l_B$라 하자. $l_A,l_B$의 교점의 $x$좌표는 $\frac{\alpha +\beta }{2}$이고 포물선과 직선 $AB$로 둘러싸인 도형의 면적을 $S$, 포물선과 $l_A,l_B$로 둘러싸인 도형의 면적을 $T$라 하면 다음을 알 수 있다. $$S=\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$ $$T=\frac{|a|}{12}(\beta -\alpha {)}^3$$ 이 때 $\alpha ,\beta$에 관계없이 다음이 성립한다. $$S:T=2:1$$

포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

 

같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 좌표평면에 같은 형태의 포물선이 있다고 하자.

 

$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

$y=a{x}^2+Bx+C$

 

두 포물선의 공통접선을 $l$이라 하고 두 포물선과 $l$의 교점의 $x$좌표를 각각 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$라 하자. 이 때 두 포물선의 교점의 $x$좌표는 $\frac{\alpha +\beta }{2}$이고 두 포물선과 $l$로 둘러싸인 도형의 면적을 $T$라 하면 다음과 같다. $$T=\frac{|a|}{12}(\beta -\alpha {)}^3$$

같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

 

 

3차 이상의 함수 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

(1) 3차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

$$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$$

$$y=mx+n$$

좌표평면에 3차함수의 그래프와 직선이 $x$좌표가 $\alpha$의 점에서 접하고 $x$좌표가 $\beta$의 점에서 교점을 갖는다고 하자. 이 때 3차함수와 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 $S$라 하면 다음과 같다. $$S=\frac{|a|}{12}(\beta -\alpha {)}^4$$

 

3차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

(2) 4차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

$$y=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e(a\ne 0)$$

$$y=mx+n$$

좌표평면에 4차함수의 그래프와 직선이 $x$좌표가 $\alpha$의 점에서 접하고 $x$좌표가 $\beta$의 점에서 교점을 갖는다고 하자. 이 때 4차함수와 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 $S$라 하면 다음과 같다. $$S=\frac{|a|}{30}(\beta -\alpha {)}^5$$

 

4차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

 

 

연습문제

(1) 포물선과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하여라. 그리고 그것을 이용하여 같은 형태의 포물선과 공통접선으로 둘러싸인 도형의 면적를 증명하여라.

(2) 3차 이상의 함수 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하여라.

 

 

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