[수학Ⅱ]15.정적분의 정의

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『구간이 정해져 있는 적분!』

 

부정적분은 구간이 정해지지 않은 적분입니다.

그럼 정적분은 구간이 정해져 있는 적분이겠죠?

구간을 어떻게 정하는지 한 번 알아보도록 하겠습니다!

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• 정적분
• 정적분의 표기
• 합, 차, 실수배의 정적분
• 연습문제
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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

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정적분

 함수 \(f(x)\)의 원시함수의 하나를 \(F(x)\)라 하자. 즉 \(F'(x)=f(x)\)라 하자. 이 때 두 개의 실수 \(a, b\)에 대해 차 \(F(b)-F(a)\)를 함수 \(f(x)\)의 \(a\)부터 \(b\)까지의 정적분이라 하고 \(\int ^{b}_{a}f(x)dx\)라 나타낸다. 정적분을 구하는 것을 \(f(x)\)를 \(a\)부터 \(b\)까지 적분한다고 한다. 그리고 \(F(b)-F(a)\)를 기호 \([F(x)]^{b}_{a}\)라 나타낸다.

 

정적분은 인테그랄 기호옆에 아래 부분에 적분 시작점을 위 부분에 적분 끝나는 점을 적어서 나타냅니다.

 

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정적분의 표기

\(F'(x)=f(x)\)라 할 때 \(\int ^{b}_{a}f(x)dx=[F(x)]^{b}_{a}=F(b)-F(a)\)

 

정적분의 정의를 위와 같이 표기해요!

 

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합, 차, 실수배의 정적분

(1) \(\int^{b}_{a} \{f(x)+g(x)\}dx=\int^{b}_{a} f(x)dx+\int^{b}_{a} g(x)dx\)

(2) \(\int^{b}_{a} \{f(x)-g(x)\}dx=\int^{b}_{a} f(x)dx-\int^{b}_{a} g(x)dx\)

(3) \(k\)를 실수라 할 때 \(\int^{b}_{a} kf(x)dx=k\int^{b}_{a} f(x)dx\)

(1), (2), (3)를 합치면 함수 \(f(x), g(x)\)와 실수 \(s, t\)에 대해 다음을 알 수 있다. $$\int^{b}_{a} \{sf(x)+tg(x)\}dx=s\int^{b}_{a} f(x)dx+t\int g(x)dx$$

 

(1),(2)은 적분의 합과 차에 대한 분배법칙, (3)은 실수배의 순서교환가능입니다!

 

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연습문제

(1) 정적분의 성질을 이용하여 \(y=x^3+3x^2+3\)를 2부터 3까지 적분하여라.

(2) 정적분의 성질을 이용하여 \(y=(x+2)^3+3(x+2)^2+3\)를 2부터 3까지 적분하여라.

 

 

 

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