[수학Ⅱ]17.적분공식

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『이거 외워두면 진짜 편해요!』

 

수험생들이 외워야 할 몇 가지 필수 공식이 있습니다!

오늘 소개할 공식들은 필수적이지는 않지만

알아두면 1분1초를 다투는 시험에

큰 도움이 되는 적분공식입니다!

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• 우함수의 정적분
• 기함수의 정적분
• 적분공식
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

 

우함수의 정적분

 \(f(x)\)가 우함수일 때 \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

특히 \(m\)을 \(0\)이상의 정수라 할 때 다음이 성립한다. $$\int_{-a}^{a}x^{2m}dx=2\int_{0}^{a}x^{2m}dx$$

 

우함수는 \(y\)축에 대칭이므로 \(0\)부터 한쪽가지만의 적분값을 두 배한 값과 같습니다.

 

 

기함수의 정적분

\(g(x)\)가 기함수일 때 \(\int _{-a}^{a}g(x)dx=0\)

특히 \(m\)을 \(0\)이상의 정수라 할 때 다음이 성립한다. $$\int_{-a}^{a}x^{2m+1}dx=0$$

 

기함수는 원점대칭이므로 적분한 값이 0이 됩니다.

 

 

적분공식

(1) \(\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\cfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\)

(2) \(\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)dx=-\cfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^{4}\)

(3) \(\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)^{2}dx=\cfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^{4}\)

(4) \(\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2}dx=\cfrac{1}{30}(\beta-\alpha)^{5}\)

 

위에 공식들은 필수는 아니지만 외워두면 위의 형식에 맞춘 적분들의 값을 쉽게 구할 수 있어요!

 

 

연습문제

(1) 우함수와 기함수의 정적분의 성질을 증명하여라.

(2) 적분공식을 증명하여라.

 

 

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