[수학Ⅱ]18.정적분과 면적

 

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『정적분은 면적이다!』

 

정적분이 가지는 기하학적인 의미는 무엇일까요?

바로 곡선과 \(x\)축사이의 면적을 뜻합니다.

 

 

자세한 사항은 미적분 단원에서 공부할 예정입니다만

적분은 미세한 막대기를 곡선에 알맞게 쌓은 값으로

곡선과 \(x\)축사이의 면적을 지칭합니다.

 

그럼 정적분의 기하학적인 의미와 그 응용에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• \(x\)축과 곡선사이의 면적
• 두 개의 곡선사이의 면적
• 두 개의 곡선사이의 면적2
• 연습문제

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\(x\)축과 곡선사이의 면적

좌표평면에 대해 구간 \(a \leq x \leq b\)에서 \(f(x)\geq 0\)이라 하자. 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=0\) 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다 $$S=\int_{a}^{b}ydx=\int_{a}^{b}f(x)dx$$ 좌표평면에 대해 구간 \(a \leq x \leq b\)에서 \(f(x)\leq 0\)이라 하자. 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=0\) 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다 $$S=\int_{a}^{b}(-y)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$$

정적분의 기하학적 의미

정적분의 기하학적인 측면은 \(x\)축과 곡선사이의 면적이라고 언급했습니다.

다만 주의해야 할 점은 \(x\)축 아래에 있는 곡선에 대해서는 면적에 \(-1\)을 곱한 값입니다.

 

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두 개의 곡선사이의 면적

좌표평면에 대해 구간 \(a \leq x \leq b\)에서 \(f(x) \geq g(x)\)이라 하자. 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다. $$ S=\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}dx$$

 

두 개의 곡선 사이의 면적

 

두 개의 곡선사이의 면적은 정적분의 기하학적인 측면으로 당연한 결과입니다!

 

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두 개의 곡선사이의 면적2

\(a < b\)라 하자. 좌표평면에 대해 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음을 알 수 있다. $$S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$$ 특히 \(a \leq b\)에 대해 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 대소관계가 바뀌지 않을 때 다음을 알 수 있다. $$S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx = \left\vert \int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}dx \right\vert$$

 

 

 

위의 공식들은 두 개의 곡선의 대소관계를 모르거나 교점이 있는지 없는지 관계없이 일반적인 곡선사이의 면적을 나타냅니다.

 

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연습문제

(1) 두 개의 곡선사이의 면적을 증명하여라.

(2) 두 개의 곡선사이의 면적2에서 대소관계가 바뀔 경우 성립하지 않는 예시를 보여라..

 

 

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