[수학Ⅱ]14.다항함수의 적분과 적분 성질

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『부정적분의 성질을 알아보자!』

 

지난 시간에 부정적분이 무엇인지에 대해 알아봤습니다.

오늘은 부정적분의 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

앞서 언급한 것 처럼 다항함수에 대한 부정적분의 성질을 알아볼텐데

일반적으로 모든 함수에 대해서도 성립하는 성질입니다.

 

 

그럼 우선 다항함수의 부정적분부터 보도록 하겠습니다!

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• \(x^{n}\)의 적분
• \((x+\alpha)^n\)의 적분
• 합, 차, 실수배의 부정적분
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

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\(x^{n}\)의 적분

 \(n\)이 0이상의 정수, \(C\)를 적분상수라 하면 다음과 같다. $$\int x^n dx=\cfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

 

다항함수의 가장 기초적인 항 \(x^n\)에 대한 적분입니다.

 

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\((x+\alpha)^n\)의 적분

 \(n\)이 0이상의 정수, \(\alpha\)가 상수, \(C\)를 적분상수라 하면 다음과 같다. $$\int (x+\alpha)^n dx=\cfrac{1}{n+1}(x+\alpha)^{n+1}+C$$

 

\((x+\alpha)^n\)의 적분 값을 보시면 \(x^n\)의 값을 똑같이 평행이동하신 것을 알 수 있습니다.

 

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합, 차, 실수배의 부정적분

(1) \(\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)

(2) \(\int \{f(x)-g(x)\}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\)

(3) \(k\)를 실수라 할 때 \(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)

(1), (2), (3)를 합치면 함수 \(f(x), g(x)\)와 실수 \(s, t\)에 대해 다음을 알 수 있다. $$\int \{sf(x)+tg(x)\}dx=s\int f(x)dx+t\int g(x)dx$$

 

(1),(2)은 적분의 합과 차에 대한 분배법칙, (3)은 실수배의 순서교환가능입니다!

 

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연습문제

(1) 부정적분의 성질을 이용하여 \(y=x^3+3x^2+3\)를 적분하여라.

(2) 부정적분의 성질을 이용하여 \(y=(x+2)^3+3(x+2)^2+3\)를 적분하여라.

 

 

 

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