[수학Ⅱ]16.정적분의 기본성질

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『정적분의 성질을 알아보자!』

 

지난 시간에 정적분이 무엇인지에 대해 알아봤습니다.

오늘은 정적분의 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

앞서 언급한 것 처럼 다항함수에 대한 정적분의 성질을 알아볼텐데

일반적으로 모든 함수에 대해서도 성립하는 성질입니다.

 

 

그럼 우선 다항함수의 부정적분부터 보도록 하겠습니다!

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• 정적분의 기본성질
• 정적분의 값
• 미적분학의 기본정리
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

 

정적분의 기본성질

정적분은 변수의 취하는 방법에 관계없이 같은 값이 된다. $$\int _{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(t)dt$$

 

적분하는 대상이 누구든간에 적분값이 일정하다는 뜻입니다.

 

 

정적분의 값

\(a, b\)를 \(x\)에 의존하지 않는 상수라 하자. 정적분 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\)의 값은 \(x\)에 무관계인 상수다.

 

\(x\)에 대해 적분한 값은 더이상 \(x\)의 함수가 아니게 됩니다.

 

 

미적분학의 기본정리

\(a\)는 상수, \(f(x)\)가 연속함수일 때 \(\int_{a}^{x}f(t)dt\)를 \(x\)로 미분하면 \(f(x)\)가 된다. $$\cfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$

 

적분은 미분의 반대라고 했었죠?

적분한 값을 미분하면 원시함수가 됩니다!

 

 

연습문제

(1) 정적분의 기본성질을 증명하여라.

(2) 미적분학의 기본정리를 증명하여라.

 

 

 

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