오늘은 조건부 확률에 대해 알아보도록 하겠습니다.
조건부 확률이란 특정 조건이 주어졌을 때 어느 사건이 일어날 확률입니다.
영어로 Conditional Probability인데 왜 조건부 확률일까요?
일본어를 바로 번역해서 그렇습니다!
일본어로 条件付き確率(조건이 붙어있는 확률)인데 한자만 따와서 조건부 확률이라고 번역했습니다.
아시다시피 틀린말은 아니니까요?
목차
1. 조건부 확률
1.1 조건부 확률이란?
조건부 확률은 특정 조건이 있을 때 사건이 일어날 확률입니다.
사건 \(A\)가 일어나면 전사건이 사건 \(A|\)로 축소된다. 이처럼 사건 \(A\).가 일어났을 때 사건 \(B\)가 일어날 확률을 조건부확률이라 하며 \(P_{A}(B)\) 또는 \(P(B|A)\)라 나타낸다.
우리는 평소에 조건부확률을 자주 사용하고 있습니다.
소개팅 했는데 남자친구 또는 여자친구 사귈 확률은?
3번 소개팅 했는데 남자친구 또는 여자친구 사귈 확률은?
두 예문의 차이는 전사건이 달라집니다.
3번의 소개팅이 조건으로 들어오게 되죠.
하지만 결론적으로 확률은 0 아닌가요?주륵
1.2 \(P(B|A)\)의 계산
앞서 배운 조건부 확률은 어떻게 계산하면 되는지 알아보도록 하겠습니다.
사건 \(A\)에 대해 \(n(A) \neq 0\), \(P(A) \neq 0\)일 때 \(P(B|A)\)를 다음과 같이 정의한다.
\( \begin{align}
\displaystyle P(B|A) & = \cfrac{n(A\cup B)}{n(A)} \\
& = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}
\end{align} \)
2. 확률의 곱의 법칙
2.1 확률의 곱의 법칙
조건부 확률의 공식은 다음과 같이 변형가능합니다.
사건 \(A\), \(B\)에 대하여 \(P(A) \neq 0\), \(P(B) \neq 0\)이라 하자. 조건부 확률의 정의로부터 다음을 알 수 있다. \(P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B) \cdot P(A|B)\)
확률의 곱의 법칙은 영어로 Multipication Rule이라고 합니다.
단순히 보면 조건부 확률의 정의로부터 쉽게 알 수 있습니다만,
천천히 보면 금방 이해할 수 있습니다.
사건 \(A\)하고 \(B\)가 동시에 일어날 확률은 사건 \(A\)가 일어났을 때 사건\(B\)가 일어날 확률과 사건 \(A\)가 일어날 확률의 곱 또는 사건 \(B\)가 일어났을 때 사건\(A\)가 일어날 확률과 사건 \(B\)가 일어날 확률의 곱으로 표현가능합니다.
즉 전사건을 각각 \(A\)와 \(B\)에 대해 축소시킨걸 곱을 통해 다시 전체 사건으로 되돌리는 역할이죠!
- 남학생을 뽑을 사건을 \(A\), 이과학생을 뽑을 사건을 \(B\)라 하면 다음을 알 수 있다.
- (1) \(P(A\cap B)=\cfrac{n(A \cap B)}{n(U)}=\cfrac{14}{40}=\cfrac{7}{20}\)
- (2) \(P(B|A)=\cfrac{n(A\cap B)}{n(A)}=\cfrac{14}{22}=\cfrac{7}{11}\)
3. 사건의 독립과 종속
3.1 사건의 독립과 종속이란?
앞서 배운 독립은 시행을 기준으로 한 사건에 대한 독립이였습니다.
이번엔 조건부 확률을 이용하여 사건의 독립과 종속이란 어떤 것을 뜻하는지 한 번 알아보도록 하겠습니다!
두 개의 사건 \(A\), \(B\)에 대하여 \(P(A) \neq 0\)이라 하자. \(P(B|A)=P(B)\)가 성립할 때 사건 \(A\)와 사건 \(B\)가 독립이라고 한다. 곱의 법칙인 \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)\)로부터 \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) 와 동치다. 독립이 아닌 경우는 종속이라 한다.
남녀 40명의 학생에 대하여 문과와 이과 각각 몇 명인지 나타내는 표다. 다음의 표를 보고 물음에 답하여라.
남자 여자 합계
이과 14 7 21
문과 8 11 19
합계 22 18 40
(1) 40명중 무작위로 한 명을 고를 때 그 학생이 이과 남학생인 확률을 구하여라.
(2) 40명중 무작위로 한 명을 골랐을 때 그 학생이 남자였다. 그 학생이 이과일 확률을 구하여라.