[확률과 통계]여사건, 독립시행, 반복시행의 확률 심화 개념

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여사건, 독립시행, 반복시행

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

오늘은 여러가지 확률계산하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

어떤 경우에 어떻게 확률을 계산하는지 알고 계시면 쉽게 문제를 해결하실 수 있으실 겁니다!

 

목차

• 1. 여사건
• 2. 독립시행
• 3. 반복시행
• 오늘의 학습 정리

1. 여사건

1.1 여사건이란?

여사건은 앞서 배운 여집합과 비슷한 개념입니다!

여사건의 정의

사건 \(A\)에 대해 \(A\)가 일어나지 않을 사건을 \(A\)의 여사건이라 하며 \(\bar{A}\) 또는 \(A^{c}\)라 나타낸다.

여사건은 전사건 \(U\)에 대하여 나머지 부분이라 보시면 될 것 같습니다!

즉 \(U=A \cup A^{c}\)와 같은 관계가 성립하는 것을 알 수 있습니다.

물론 \(A \cap A^{c}=\emptyset\)입니다.

 

 

1.2 여사건의 확률

앞서 여사건의 정의를 알아봤으면 여사건의 확률도 쉽게 구할 수 있습니다!

여사건의 확률

전사건을 \(U\)라 할 때 사건 \(A\)에 대하여 다음이 성립한다.

\( \begin{align}
\displaystyle P(U) & = P(A)+P(\bar{A}) \\
\end{align} \)

【증명】

특히 \(A\cap B=\emptyset\)일 때는 다음을 알 수 있다. \( n(A \cup B)=n(A)+n(B) \)

양변을 \(n(U)\)로 나누어주면 주어진 식이 성립한다.

 

그럼 여사건은 언제 사용하면 좋을까요? 문제에서 많은 경우의 수를 구하는 것보다 여사건의 경우의 수를 구하는 것이 쉬울 때 사용하면 좋습니다. 종종 ~가 아닌, 적어도~ 이런 문구가 들어가 있으면 보통 여사건으로 구하면 쉽게 해결되는 경우가 많습니다!

예제1

흰 공이 6개, 빨간 공이 5개 들어있는 상자에서 4개의 공을 꺼냈을 때 적어도 흰 공이 1개 이상 포함되는 확률을 구하여라.

【해설】

여사건으로부터 흰 공이 1개도 포함되지 않을 확률, 즉 모두 빨간 공을 뽑을 확률을 구하면 다음과 같다.
\(\cfrac{_{5}C_{4}}{_{11}C_{4}}=\cfrac{\cfrac{5 \times 4 \times 3\times 2}{4\times 3\times 2\times 1}}{\cfrac{11\times 10\times 9 \times 8}{4\times 3\times 2\times 1}}=\cfrac{1}{66}\)
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.
\(1-\cfrac{1}{66}=\cfrac{65}{66}\)

2. 독립시행

2.1 독립시행이란?

확률에서 매우 중요한 성질중에 하나인 독립에 대해 알아보겠습니다.

독립은 Independence라 하며 여러 사건에 대하여 서로가 서로에게 영향을 안 끼칠때 독립이라고 합니다.

독립의 정의

두 개의 시행 \(S, T\)에 대하여 시행의 결과가 서로에 영향이 없다고 할 때 시행 \(S\)와 \(T\)는 서로 독립이라 한다. 또는 시행 \(S\)로부터 일어난 사건 \(A\),시행 \(T\)로부터 일어난 사건 \(B\)에 대해서 사건 \(A\)와 \(B\)는 독립이라 한다.

2.2 독립시행의 확률

독립시행일 때 다음이 성립하는 것은 꼭 외워두시기 바랍니다!

 

독립시행의 확률

독립인 시행 \(S\)와 \(T\)에 대하여 시행 \(S\)로부터 사건 \(A\)가 일어나고 시행 \(T\)로부터 사건 \(B\)가 일어날 때 다음이 성립한다.

 

\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)

 

위의 성질은 대학교 과정에서 증명하지만 고등교과과정에서 정의처럼 외워두시는게 좋습니다!

중요한 사실은 역이 성립하지 않는 다는 것입니다!

즉 \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)이 성립해도 사건 \(A\)와 \(B\)가 꼭 독립이라는 것은 아니라는 점입니다.

 

예제2

영희, 철수, 민수 세 사람이 합격할 확률이 각각 \(\cfrac{1}{2}, \cfrac{2}{3}, \cfrac{3}{4}\)일 때 한 사람만 합격할 확률을 구하여라.

【해설】

영희, 철수, 민수가 각각 합격할 확률은 독립적이다.
영희만 합격할 확률 \(\cfrac{1}{2}(1-\cfrac{2}{3})(1-\cfrac{3}{4})=\cfrac{1}{24}\)
철수만 합격할 확률 \((1-\cfrac{2}{3})\cfrac{2}{3}(1-\cfrac{3}{4})=\cfrac{2}{24}\)
민수만 합격할 확률 \((1-\cfrac{2}{3})(1-\cfrac{2}{3})\cfrac{3}{4}=\cfrac{3}{24}\)
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.
\(\cfrac{1}{24}+\cfrac{2}{24}+\cfrac{3}{24}=\cfrac{1}{4}\)

연습문제1

사건 \(A\)와 \(B\)가 독립일 때 다음이 성립하는 것을 증명하여라.

\(P(A\cap B^{c})=P(A)P(B^{c})\)

\(P(A^{c}\cap B)=P(A^{c})P(B)\)

\(P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})P(B^{c})\)

3. 반복시행

3.1 반복시행이란?

반복시행은 같은 행위를 여러번 하는 것을 뜻합니다..

반복시행

같은 조건에서 같은 행위를 반복할 때 각 회수의 시행은 독립니다. 이와 같이 독립적인 시행을 반복하는 것을 반복시행이라 한다.

3.2 반복시행의 확률

반복시행의 확률

한 번의 시행에서 사건 \(A\)가 일어날 확률을 \(p\)라 하자. 이 때 \(n\)번 시행할 때 사건 \(A\)가 \(r\)번 일어날 확률은 다음과 같다.

\( _{n}C_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}\)

\(n\)번 중에 \(r\)번 일어나는 경우의 수는 \(n\)개 중에서 \(r\)를 뽑는 것과 같으므로 조합을 사용하였습니다. 그리고 여사건을 활용하여 사건 \(A\)가 일어나지 않을 확률을 \(1-p\)로 나타냈습니다.

예제2

주사위를 5번 던졌을 때 3의 배수인 수가 윗면에 3번 나올 확률을 구하여라.

【해설】

3의 배수는 3, 6이므로 3의 배수가 나올 확률은 \(\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}\)이다.
따라서 반복시행의 확률로부터 다음을 알 수 있다.
\(_{5}C_{3}(\cfrac{1}{3})^{3}(\cfrac{2}{3})^{2}=\cfrac{40}{243}\)

오늘의 학습 정리

여러가지 확률계산 정리

【여사건의 확률】

사건 \(A\)에 대하여 \( P(A)=1-P(A^{c}) \))

 

【독립시행의 확률】

사건 \(A\)와 \(B\)가 독립일 때 \( P(A\cap B)=P(A)P(B) \)

 

【반복시행의 확률】

사건 \(A\)가 일어날 확률을 \(p\)라 할 때 \(n\)번 시행할 때 사건 \(A\)가 \(r\)번 일어날 확률 \( _{n}C_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}\)

 

위의 여러가지 확률을 계산하는 방법은 실제 확률문제를 푸는데 많은 도움이 됩니다. 꼭 복습하여 실전에 적재적소 사용하시기를 바라겠습니다!