안녕하세요. 본수학 저자입니다.
오늘은 드디어 확률이란 무엇인지에 대해 알아보도록 하겠습니다.
확률은 앞서 배운 경우의 수를 응용하는 파트로 경우의 수를 구하는 어려운 문제는 없지만 필히 알아둬야 합니다..
목차
1. 확률의 정의
1.1 확률이란?
확률이란 무엇인지에 대해 알아보기 전에 확률에서 사용되는 용어를 알아보도록 하겠습니다.
시행 같은 조건에서 반복가능하며 결과가 우연히 정해지는 행위
사건 시행의 결과로 일어날 수 있는 경우. 주로 \(A\) 또는 \(B\)로 나타낸다.
근원사건 더이상 분할할 수 없는 사건
전사건 시행에서 일어날 수 있는 모든 사건으로 전체집합에 해당된다. 주로 \(U\)로 나타낸다.
공사건 일어나지 않는 사건. \(\emptyset\)으로 나타낸다.
대학과정의 확률론에 가면 더 깊숙이 다룰 수 있지만 고교과정에서는 간단한 정보만 가지고 문제를 해결할 수 있습니다.
대학과정 확률론은 추후에 다루도록 하겠습니다.
어느 사건이 일어날 정도를 전사건에 대한 비율로 수치화한 것을 확률이라 한다.
전사건에 대해 우리가 관심있어 하는 사건의 비율이 확률입니다!
경우의 수를 학습했기 때문에 많은 학생들이 전체 사건의 개수 중에 일어날 사건의 개수의 비율만 확률이라 생각하는 학생이 많은데 꼭 그런 것 많은 아닙니다!
전체 길이에서 특정길이, 전체 면적에서 특정 면적, 전체 부피에서 특정 부피 등 여러가지 전체 사건에 대한 특정 사건의 비율이 확률입니다!
- 전사건 \(U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
- 근원사건 \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\), \(\{4\}\), \(\{5\}\), \(\{6\}\)
- 사건 \(A=\{1, 3, 5\}\)
1.2 확률의 정의
그럼 확률의 정의를 앞서 배운 용어를 통해 알아보도록 하겠습니다.
전체 사건 \(U\)의 어느 근원사건도 같은 빈도로 일어날 때 사건 \(A\)의 확률은 다음과 같이 정의한다.
\( \begin{align}
\displaystyle P(A) & = \frac{n(A)}{n(U)} \\
& = \frac{\text{사건 \(A\)가 일어날 경우의 수}}{\text{일어날 수 있는 모든 경우의 수}}
\end{align} \)
단 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 0인 경우는 생각하지 않는다.
흰 공 2개와 빨간 공 2개가 들어있는 상자에서 무작위로 공을 한 개 뽑았을 때 빨간 공을 뽑을 확률을 구하여라.
- 빨간 공을 뽑을 경우의 수는 2개이므로 구하고자 하는 확률은 \(\cfrac{1}{2}\)이다.
2. 확률의 기본성질
2.1 확률의 기본성질
유한집합의 원소의 개수를 셀수 있으면 유한집합의 연산 특히 합집합의 원소의 개수도 셀 수 있습니다. 우선 집합 두 개의 합집합의 원소의 개수는 어떻게 되는지 알아보도록 하겠습니다.
전사건 \(U\), 사건\(A\)에 대해 다음이 성립한다.
(1) \(0\leq P(A)\leq1\)
(2) \(P(U)=1\)
(3) \(P(\emptyset)=0\)
【증명】
(1) 사건 \(A\)는 전사건 \(U\)의 부분집합이므로 \(0 \leq n(A) \leq n(U)\)이다.
(2) 확률의 정의로부터 성립한다.
(3) \(n(\emptyset)=0\)이므로 확률의 정의로부터 성립한다.
3. 경우의 수와 확률
앞서 설명한 확률의 정의는 근원사건이 모두 동일하게 일어날 때 였습니다. 하지만 여러개를 고르는 경우는 전사건의 경우가 달라집니다. 경우의 수에서 배운 것과 같이 다음처럼 나눌 수 있습니다.3.1 여러개를 뽑을 경우의 전사건
앞서 배운 3개의 패턴이 있습니다.
다음과 같이 전사건을 구할 수 있다.
(1) \(n\)개 중에서 \(r\)개를 고르는 경우(뽑은 것은 되돌리지 않을 때) \(_{n}P_{r}\)흰 공 4개, 빨간 공 2개가 들어있는 상자에서 1개를 꺼내는 조작을 3번 반복한다. 단 한 번 꺼낸 공은 되돌리지 않는다. 3번 모두 흰 공을 뽑을 확률을 구하여라.
- 6개 중에 3개를 뽑는 순열이 전사건, 4개중에 3개를 뽑는 순열이 구하고자 하는 사건이므로 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.
- \(\cfrac{_{6}P_{3}}{_{4}P_{3}}=\cfrac{1}{5}\)
3.2 여러번 시행할 때의 확률
\(r\)번의 시행했을 때의 확률은 다음과 같이 구할 수 있다.
(\(r\)번의 시행했을 때의 확률) \(=\) (\(1\)번째 시행했을 때의 확률) \(\times\) (\(2\)번째 시행했을 때의 확률) \(\times \cdots \times\) (\(r\)번째 시행했을 때의 확률)
흰 공 4개, 빨간 공 2개가 들어있는 상자에서 1개를 꺼내는 조작을 3번 반복한다. 단 한 번 꺼낸 공은 되돌리지 않는다. 3번 모두 흰 공을 뽑을 확률을 구하여라.
- 첫 번째 시행의 확률 \(\cfrac{4}{6}\), 두 번째 시행의 확률 \(\cfrac{3}{5}\), 세 번째 시행의 확률 \(\cfrac{2}{4}\)이므로 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.
- \(\cfrac{4}{6}\times \cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{5}\)
오늘의 학습 정리
【확률의 정의】
\( P(A)=\cfrac{n(A)}{n(U)} \)
【확률의 기본성질】
\(0\leq P(A)\leq1\)
\(P(U)=1\)
\(P(\emptyset)=0\)
【여러번 시행할 때의 확률】
(\(r\)번의 시행했을 때의 확률) \(=\) (\(1\)번째 시행했을 때의 확률) \(\times\) (\(2\)번째 시행했을 때의 확률) \(\times \cdots \times\) (\(r\)번째 시행했을 때의 확률)
확률의 기본개념에 대해 공부했습니다. 다음 시간부터는 실질적인 예시를 가지고 다양한 확률을 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.
1개의 주사위를 던졌을 때 홀수가 나오는 눈의 사건을 \(A\)라 하자. 이 때 전사건, 근원사건, 사건 \(A\)를 구하여라.