[확률과 통계]확률점화식, 확률점화식 풀이, 확률점화식 예시 심화 개념

 

 

 

 

확률점화식, 확률점화식 풀이, 확률점화식 예시

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

오늘은 확률점화식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

확률점화식은 확률과 점화식을 합친 개념으로 예전 모의고사 때 엄청난 오답률을 자랑한 문제로 출제된 적이 있습니다.

확률점화식의 개념은 무엇인지 예시를 들어가며 어떠한 형태로 풀면 좋을지 알아보도록 하겠습니다.

목차

• 1. 확률점화식
• 2. 확률점화식 예시1
• 3. 확률점화식 예시2
• 오늘의 학습 정리

1. 확률점화식

1.1 확률점화식이란?

확률점화식은 점화식처럼 확률의 관계식을 뜻입니다.

확률점화식의 정의

어떤 시행을 $n$번째 했을 때와 $n-1$번째 했을 때의 확률의 관계를 나타낸 식을 확률점화식이라 한다.

점화식은 이전 수열단원에서 배운적이 있습니다.

$n$번째 항과 $n-1$번째 항과의 관계식을 점화식이라 합니다.

확률은 $n$번째 항이라는 것이 없는데 확률점화식은 무엇을 뜻하는 것일까요?

확률에서 $n$번째 항을 나타내는 것은 $n$번째 시행했을 때의 확률로 생각합니다.

그럼 당연히 $n-1$번째 항은 $n-1$번째 시행했을 때의 확률이 되겠죠?

 

확률점화식의 특징

(1) 확률점화식의 일반항 $a_n$은 $0\le a_n\le 1$이다.

(2) $n$번째 시행때 모든 확률의 합은 1이다.

 

확률점화식의 특징은 단순히 확률의 특징과 똑같습니다!

하지만 문제를 풀 때 간혹 놓치기 쉬운부분이므로 문제를 풀기 전에 꼭 위의 사항들을 체크하고 넘어가야 합니다.

2. 확률점화식 예시1

2.1 상태가 2개인 확률점화식

처음으로 볼 예시는 상태가 2개인 확률점화식입니다. 즉 $n$번째에 취할 수 있는 상황이 2가지라는 뜻이죠.바로 예시를 보도록 하겠습니다.

예제1

주머니 A에 흰 공 2개, 빨간 공 1개, 주머니 B에 흰 공 3개가 들어있다. 주머니A와 주머니B에서 각각 한 개의 공을 무작위로 꺼내 바꿔 넣는 것을 $n$번 시행했을 때 주머니 A에 빨간 공이 들어 있을 확률을 구하여라.

【해설】

$n$번 시행 후 $A$에 빨간 공이 들어 있을 확률을 $p_n$, 그렇지 않을 확률을 $q_n=1-p_n$이라 하자. $n+1$번 시행 후 주머니 A에 빨간 공이 들어있는 것은 다음 두 가지 경우다.
(ⅰ) $n$번 시행 후 주머니 A에 빨간 공이 들어 있고 $n+1$번 시행 후 주머니 A에서 흰 공을 뽑는 경우
(ⅱ) $n$번 시행 후 주머니 B에 빨간 공이 들어 있고 $n+1$번 시행 후 주머니 B에서 빨간 공을 뽑는 경우
두 경우는 배반이므로 다음을 알 수 있다.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& =p_n\times \frac{2}{3}+(1-p_n)\times \frac{1}{3}\\ & =\frac{1}{3}{p}_n+\frac{1}{3}\end{array}$

위의 식은 $p_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(p_n-\frac{1}{2})$이므로 $\{p_n-\frac{1}{2}\}$는 첫번째 항 $p_1-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$이고 공비가 $\frac{1}{3}$인 등비수열이다.
$p_n-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$로부터 $p_n=\frac{1}{6}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}+\frac{1}{2}$이다.

2.2 또 다른 풀이

방금 위의 예제는 일반 점화식을 활용하여 해결해였습니다. 앞서 언급한 확률점화식 특징을 가지고 다르게 해결해보도록 하겠습니다.

예제2

주머니 A에 흰 공 2개, 빨간 공 1개, 주머니 B에 흰 공 3개가 들어있다. 주머니A와 주머니B에서 각각 한 개의 공을 무작위로 꺼내 바꿔 넣는 것을 $n$번 시행했을 때 주머니 A에 빨간 공이 들어 있을 확률을 구하여라.

【해설】

$n$번 시행 후 $A$에 빨간 공이 들어 있을 확률을 $p_n$, 주머니 B에 빨간 공이 들어 있을 확률을 $q_n$이라 하자. 그러면 다음과 같은 경우의 수를 생각할 수 있다
(ⅰ) $n+1$번째에 A에 빨간 공이 있는 경우는 \(n)번째에 A에 빨간 공이 있을 때와 없을 때
(ⅱ) $n+1$번째에 A에 빨간 공이 없는 경우는 \(n)번째에 A에 빨간 공이 있을 때와 없을 때
두 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$p_{n+1}=\frac{2}{3}{p}_n+\frac{1}{3}{q}_n\cdots \mathrm{①}$
$q_{n+1}=\frac{1}{3}{p}_n+\frac{2}{3}{q}_n\cdots \mathrm{②}$
단 $p_1=\frac{2}{3},q_1=\frac{1}{3}$
①+②로부터 $p_{n+1}+q_{n+1}=p_n+q_n=\cdots =p_1+q_1=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$
①-②로부터 $p_{n+1}-q_{n+1}=\frac{1}{3}(p_n-q_n$
$p_n-q_n$는 첫번째 항 $p_1-q_1=\frac{1}{3}$이고 공비가 $\frac{1}{3}$인 등비수열이다. $p_n-q_n=\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$
$\therefore p_n=\frac{1}{2}\{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\}$

3. 확률점화식 예시2

3.1 상태가 3개인 확률점화식

상태가 2개인 확률점화식의 확장으로 푸는 유형은 똑같습니다.

연습문제1

3개의 상자 A, B, C가 있고 처음에 상자 A에 빨간 공, 상자 B에 흰 공, 상자 C에 흰 공이 1개씩 들어있다. 1개의 동전을 던져 앞이 나오면 상자A와 상자B의 공을 교환하고 뒤가 나오면 상자B와 상자C의 공을 교환하는 시행을 $n$번 반복한다. 이 때 3개의 상자 A, B, C에 빨간 공이 들어있는 확률을 각각 구하여라.

상태가 3개인 확률점화식은 연습문제로 남겨두겠습니다.

오늘의 학습 정리

집합의 개수 정리

【확률점화식】

어떤 시행을 $n$번째 했을 때와 $n-1$번째 했을 때의 확률의 관계를 나타낸 식

 

【확률점화식 특징】

$a_n$은 $0\le a_n\le 1$

확률의 총합은 1

 

확률점화식은 엄밀히 말하면 The first step analysis라 불리우는 대학과정이지만 고교과정의 확률과 점화식을 합친 내용으로 고등학생도 해결이 가능한 부분입니다.