[확률과 통계]확률점화식, 확률점화식 풀이, 확률점화식 예시 심화 개념

 

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확률점화식, 확률점화식 풀이, 확률점화식 예시

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

오늘은 확률점화식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

확률점화식은 확률과 점화식을 합친 개념으로 예전 모의고사 때 엄청난 오답률을 자랑한 문제로 출제된 적이 있습니다.

확률점화식의 개념은 무엇인지 예시를 들어가며 어떠한 형태로 풀면 좋을지 알아보도록 하겠습니다.

목차

• 1. 확률점화식
• 2. 확률점화식 예시1
• 3. 확률점화식 예시2
• 오늘의 학습 정리

1. 확률점화식

1.1 확률점화식이란?

확률점화식은 점화식처럼 확률의 관계식을 뜻입니다.

확률점화식의 정의

어떤 시행을 \(n\)번째 했을 때와 \(n-1\)번째 했을 때의 확률의 관계를 나타낸 식을 확률점화식이라 한다.

점화식은 이전 수열단원에서 배운적이 있습니다.

\(n\)번째 항과 \(n-1\)번째 항과의 관계식을 점화식이라 합니다.

확률은 \(n\)번째 항이라는 것이 없는데 확률점화식은 무엇을 뜻하는 것일까요?

확률에서 \(n\)번째 항을 나타내는 것은 \(n\)번째 시행했을 때의 확률로 생각합니다.

그럼 당연히 \(n-1\)번째 항은 \(n-1\)번째 시행했을 때의 확률이 되겠죠?

 

확률점화식의 특징

(1) 확률점화식의 일반항 \(a_{n}\)은 \(0 \leq a_{n} \leq 1\)이다.

(2) \(n\)번째 시행때 모든 확률의 합은 1이다.

 

확률점화식의 특징은 단순히 확률의 특징과 똑같습니다!

하지만 문제를 풀 때 간혹 놓치기 쉬운부분이므로 문제를 풀기 전에 꼭 위의 사항들을 체크하고 넘어가야 합니다.

2. 확률점화식 예시1

2.1 상태가 2개인 확률점화식

처음으로 볼 예시는 상태가 2개인 확률점화식입니다. 즉 \(n\)번째에 취할 수 있는 상황이 2가지라는 뜻이죠.바로 예시를 보도록 하겠습니다.

예제1

주머니 A에 흰 공 2개, 빨간 공 1개, 주머니 B에 흰 공 3개가 들어있다. 주머니A와 주머니B에서 각각 한 개의 공을 무작위로 꺼내 바꿔 넣는 것을 \(n\)번 시행했을 때 주머니 A에 빨간 공이 들어 있을 확률을 구하여라.

【해설】

\(n\)번 시행 후 \(A\)에 빨간 공이 들어 있을 확률을 \(p_{n}\), 그렇지 않을 확률을 \(q_{n}=1-p_{n}\)이라 하자. \(n+1\)번 시행 후 주머니 A에 빨간 공이 들어있는 것은 다음 두 가지 경우다.
(ⅰ) \(n\)번 시행 후 주머니 A에 빨간 공이 들어 있고 \(n+1\)번 시행 후 주머니 A에서 흰 공을 뽑는 경우
(ⅱ) \(n\)번 시행 후 주머니 B에 빨간 공이 들어 있고 \(n+1\)번 시행 후 주머니 B에서 빨간 공을 뽑는 경우
두 경우는 배반이므로 다음을 알 수 있다.

\( \begin{align}
\displaystyle p_{n+1} & =p_{n}\times \cfrac{2}{3}+(1-p_{n})\times\cfrac{1}{3} \\
& = \frac{1}{3}p_{n}+\cfrac{1}{3}
\end{align} \)

위의 식은 \(p_{n+1}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{3}\left(p_{n}-\cfrac{1}{2}\right)\)이므로 \(\left\{p_{n}-\cfrac{1}{2}\right\}\)는 첫번째 항 \(p_{1}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{6}\)이고 공비가 \(\cfrac{1}{3}\)인 등비수열이다.
\(p_{n}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{1}{3}\right)^{n-1}\)로부터 \(p_{n}=\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{1}{3}\right)^{n-1}+\cfrac{1}{2}\)이다.

2.2 또 다른 풀이

방금 위의 예제는 일반 점화식을 활용하여 해결해였습니다. 앞서 언급한 확률점화식 특징을 가지고 다르게 해결해보도록 하겠습니다.

예제2

주머니 A에 흰 공 2개, 빨간 공 1개, 주머니 B에 흰 공 3개가 들어있다. 주머니A와 주머니B에서 각각 한 개의 공을 무작위로 꺼내 바꿔 넣는 것을 \(n\)번 시행했을 때 주머니 A에 빨간 공이 들어 있을 확률을 구하여라.

【해설】

\(n\)번 시행 후 \(A\)에 빨간 공이 들어 있을 확률을 \(p_{n}\), 주머니 B에 빨간 공이 들어 있을 확률을 \(q_{n}\)이라 하자. 그러면 다음과 같은 경우의 수를 생각할 수 있다
(ⅰ) \(n+1\)번째에 A에 빨간 공이 있는 경우는 \(n)번째에 A에 빨간 공이 있을 때와 없을 때
(ⅱ) \(n+1\)번째에 A에 빨간 공이 없는 경우는 \(n)번째에 A에 빨간 공이 있을 때와 없을 때
두 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\(p_{n+1}=\cfrac{2}{3}p_{n}+\cfrac{1}{3}q_{n}\;\;\cdots\;①\)
\(q_{n+1}=\cfrac{1}{3}p_{n}+\cfrac{2}{3}q_{n}\;\;\cdots\;②\)
단 \(p_{1}=\cfrac{2}{3}, q_{1}=\cfrac{1}{3}\)
①+②로부터 \(p_{n+1}+q_{n+1}=p_{n}+q_{n}=\cdots=p_{1}+q_{1}=\cfrac{2}{3}+\cfrac{1}{3}=1\)
①-②로부터 \(p_{n+1}-q_{n+1}=\cfrac{1}{3}(p_{n}-q_{n}\)
\(p_{n}-q_{n}\)는 첫번째 항 \(p_{1}-q_{1}=\cfrac{1}{3}\)이고 공비가 \(\cfrac{1}{3}\)인 등비수열이다. \(p_{n}-q_{n}=\cfrac{1}{3}\left(\cfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(\cfrac{1}{3}\right)^{n}\)
\(\therefore p_{n}=\cfrac{1}{2}\left\{1+\left(\cfrac{1}{3}\right)^{n}\right\}\)

3. 확률점화식 예시2

3.1 상태가 3개인 확률점화식

상태가 2개인 확률점화식의 확장으로 푸는 유형은 똑같습니다.

연습문제1

3개의 상자 A, B, C가 있고 처음에 상자 A에 빨간 공, 상자 B에 흰 공, 상자 C에 흰 공이 1개씩 들어있다. 1개의 동전을 던져 앞이 나오면 상자A와 상자B의 공을 교환하고 뒤가 나오면 상자B와 상자C의 공을 교환하는 시행을 \(n\)번 반복한다. 이 때 3개의 상자 A, B, C에 빨간 공이 들어있는 확률을 각각 구하여라.

상태가 3개인 확률점화식은 연습문제로 남겨두겠습니다.

오늘의 학습 정리

집합의 개수 정리

【확률점화식】

어떤 시행을 \(n\)번째 했을 때와 \(n-1\)번째 했을 때의 확률의 관계를 나타낸 식

 

【확률점화식 특징】

\(a_{n}\)은 \(0 \leq a_{n} \leq 1\)

확률의 총합은 1

 

확률점화식은 엄밀히 말하면 The first step analysis라 불리우는 대학과정이지만 고교과정의 확률과 점화식을 합친 내용으로 고등학생도 해결이 가능한 부분입니다.