안녕하세요. 본수학 저자입니다.
오늘은 기댓값의 정의와 특징에 대해 알아보도록 하겠습니다.
기댓값은 말 그대로 기대하는 값입니다.
예를 들어 여러분은 로또를 사면 얼마를 받을지 기대하잖아요?
그것을 값으로 계산한 것을 기댓값이라 합니다.
목차
1. 기댓값
1.1 기댓값이란?
기댓값은 어느 확률로 어느 값이 일어날 때 총 기대하는 값이다.
변수 \(X\)는 \(x_{1}, x_{2}. \cdots, x_{n}\)중에 하나의 값을 갖는다고 하자. 그리고 그 값을 갖는 확률이 각각 \(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\)이라 하자. 이 때 다음과 같이 정의된 \(E(X)\)를 변수 \(X\)의 기댓값이라 한다.
\(E(X)=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}\)
(단 \(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1\)이다.)
변수 \(X\)라는 표현이 나왔는데 \(x_{1}, x_{2}. \cdots, x_{n}\)중에 하나의 값을 취하기 때문에 변수라는 말을 사용했습니다!
구체적으로는 확률변수라는 용어를 사용하는데 이 내용은 대학과정에 적합하므로 넘어가도록 하겠습니다!
기댓값의 정의를 보면 특정값에 그 값을 가질 확률을 곱해 전부 더하는 것을 알 수 있는데요!
저희는 이미 이 과정을 중고등학교 시험 때 반평균이라는 말로 배운적이 있습니다.
정확히는 평균(Mean)과 기댓값(Expectation)은 다르지만 시험성적 평균은 기댓값과 동일한 정의를 갖고 있습니다.
예를 들어 전체 50명인 반중에 100점이 10명, 90점이 20명, 80점이 20명이면 반평균은 \(\cfrac{100 \times 10 +90 \times 20+ 80 \times 20}{50}=88\)으로 계산했는데 이것은 기댓값의 정의로 바꾸면 다음과 같습니다.
\(100\times\cfrac{10}{50}+90 \times \cfrac{20}{50}+80\times \cfrac{20}{50}=88\)
그러면 기댓값의 정의에 나온 변수는 어디에 해당될까요?
바로 시험보고 나온 시험점수가 변수가 되겠습니다!
그리고 기댓값(Expectation)의 앞글자를 따와서 변수 \(X\)의 앞에 \(E\)를 붙여 \(E(X)\)라 나타냈습니다. 간혹 \(E[X]\) 또는 간단히 \(E X\)라 사용하기도 합니다.
1.2 기댓값의 실생활 예시
앞서 기댓값의 정의와 간단한 예시를 살펴봤는데요. 또 다른 실제 예시를 들어보도록 하겠습니다.
- 로또 1등 당첨 확률은 \(\cfrac{1}{8145060}\), 2등 당첨 확률은 \(\cfrac{1}{1357510}\), 3등 당첨 확률은 \(\cfrac{1}{35724}\), 4등 당첨 확률은 \(\cfrac{1}{733}\), 5등 당첨 확률은 \(\cfrac{1}{45}\)이다(계산생략). 당첨 금액은 대략적으로 실수령액이 1등 20억, 2등 5천만원, 3등 140만원, 4등 5만원, 5등 5천원이므로 기댓값은 만원 단위로 다음과 같다.
- \(200000\times \cfrac{1}{8145060}+5000\times \cfrac{1}{137510}+140\times\cfrac{1}{35724}+5\times\cfrac{1}{733}+0.5\times\cfrac{1}{45}\)
- \(=0.0827\)
즉 여러분은 로또를 사시면 당첨금액은 한 게임당 827원이 받을 수 있는 금액으로 측정됩니다.
한 게임에 1000원이면 확률이론상 그렇게 나쁜 게임은 아니라는 뜻인 것을 알 수 있습니다.
로또 뿐만 아니라 복권도 당첨 확률을 알면 기댓값을 쉽게 구할 수 있습니다.
2. 기댓값의 합의 법칙
2.1 기댓값의 합의 법칙이란?
기댓값의 합의 법칙은 기댓값이 선형적이라는 것을 뜻합니다.임의의 실수 \(a, b\), 변수 \(X, Y\)에 대해 다음이 성립한다.
(1) \(E(aX+b)=aE(X)+b\)
【증명】
변수 \(X\)는 \(x_{1}, x_{2}. \cdots, x_{n}\)중에 하나의 값을 갖는다고 하자. 그리고 그 값을 갖는 확률이 각각 \(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\)이라 하자. 기댓값의 정의로부터 다음을 알 수 있다.
\( \begin{align}
\displaystyle E(aX+b) & = (ax_{1}+b)p_{1}+(ax_{2}+b)p_{2}+\cdots +(ax_{n}+b)p_{n} \\
& = a(x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n})+b(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}) \\
& = aE(X)+b
\end{align} \)
(2)를 증명하여라.
2.2 기댓값의 합의 법칙 예시
실제 예시를 들어 실생활에 어떻게 이용되고 있는지 알아보도록 하겠습니다.앞의 로또 예시에서 다음의 기댓값을 구하여라.
(1) 두 장을 살 때의 기댓값을 구하여라.
(2) 한 장을 사면 100원을 줄 때 기댓값을 구하여라.
- (1) \(E(2X)=2E(X)\)이므로 \(2\times0.0827=0.1654\)
- (2) \(E(X+0.01)=E(X)+0.01\)이므로 \(0.0827+0.01=0.0927\)
- 단순히 두 장 사면 두 배가 된다는 뜻입니다! 쉽죠?
3. 기댓값의 곱의 법칙
3.1 기댓값의 곱의 법칙이란?
변수 \(X, Y\)에 대하여 \(X\)와 \(Y\)가 독립일 때 다음이 성립한다.
\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
【증명】
변수 \(X\)는 \(x_{1}, x_{2}. \cdots, x_{n}\)중에 하나의 값을 갖고 그 값을 갖는 확률이 각각 \(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\)이라 하자. 그리고 변수 \(Y\)는 \(y_{1}, y_{2}. \cdots, y_{m}\)중에 하나의 값을 갖고 그 값을 갖는 확률이 각각 \(q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{m}\)이라 하자. 그러면 독립으로부터 다음을 알 수 있다.
\(P(X=x_{s} \cap Y=y_{t})=P(X=x_{s})P(Y=y_{t})\)
단 \(1 \leq s \leq n, 1 \leq t \leq m\)
따라서 기댓값의 정의로부터 다음을 알 수 있다.
\( \begin{align}
\displaystyle E(XY) & = (x_{1}y_{1}p_{1}q_{1}+x_{1}y_{2}p_{1}q_{2}+\cdots +x_{n}y_{m}p_{n}q_{m}) \\
& = (x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n})(y_{1}1_{1}+y_{2}q_{2}+\cdots+y_{m}q_{m}) \\
& = E(X)E(Y)
\end{align} \)
오늘의 학습 정리
【기댓값】
\(E(X)=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}\)
【기댓값의 합의 법칙】
\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
【기댓값의 곱의 법칙】
변수 \(X, Y\)에 대하여 \(X\)와 \(Y\)가 독립일 때 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
기댓값은 확률에서 단순하게 보이지만 대학과정에서는 어느 의미에서 적분을 뜻합니다.
기댓값은 경우의 수, 확률의 최종적인 집합체 개념으로 꼭 학습해두셔야 합니다.
로또 당첨 금액의 기댓값을 구하여라.