[확률과 통계]기댓값, 기댓값의 합의 법칙, 기댓값의 곱의 법칙 심화 개념

 

 

 

기댓값, 기댓값의 합의 법칙, 기댓값의 곱의 법칙

 

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

오늘은 기댓값의 정의와 특징에 대해 알아보도록 하겠습니다.

기댓값은 말 그대로 기대하는 값입니다. 

예를 들어 여러분은 로또를 사면 얼마를 받을지 기대하잖아요?

그것을 값으로 계산한 것을 기댓값이라 합니다.

목차

• 1. 기댓값
• 2. 기댓값의 합의 법칙
• 3. 기댓값의 곱의 법칙
• 오늘의 학습 정리

1. 기댓값

1.1 기댓값이란?

기댓값은 어느 확률로 어느 값이 일어날 때 총 기대하는 값이다.

기댓값의 정의

변수 $X$는 $x_1,x_2.\cdots ,x_n$중에 하나의 값을 갖는다고 하자. 그리고 그 값을 갖는 확률이 각각 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$이라 하자. 이 때 다음과 같이 정의된 $E(X)$를 변수 $X$의 기댓값이라 한다.

$E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$

(단 $p_1+p_2+\cdots +p_n=1$이다.)

변수 $X$라는 표현이 나왔는데 $x_1,x_2.\cdots ,x_n$중에 하나의 값을 취하기 때문에 변수라는 말을 사용했습니다!

구체적으로는 확률변수라는 용어를 사용하는데 이 내용은 대학과정에 적합하므로 넘어가도록 하겠습니다!

기댓값의 정의를 보면 특정값에 그 값을 가질 확률을 곱해 전부 더하는 것을 알 수 있는데요!

저희는 이미 이 과정을 중고등학교 시험 때 반평균이라는 말로 배운적이 있습니다.

정확히는 평균(Mean)과 기댓값(Expectation)은 다르지만 시험성적 평균은 기댓값과 동일한 정의를 갖고 있습니다.

예를 들어 전체 50명인 반중에 100점이 10명, 90점이 20명, 80점이 20명이면 반평균은 $\frac{100\times 10+90\times 20+80\times 20}{50}=88$으로 계산했는데 이것은 기댓값의 정의로 바꾸면 다음과 같습니다.

$100\times \frac{10}{50}+90\times \frac{20}{50}+80\times \frac{20}{50}=88$

그러면 기댓값의 정의에 나온 변수는 어디에 해당될까요?

바로 시험보고 나온 시험점수가 변수가 되겠습니다!

 

그리고 기댓값(Expectation)의 앞글자를 따와서 변수 $X$의 앞에 $E$를 붙여 $E(X)$라 나타냈습니다. 간혹 $E[X]$ 또는 간단히 $EX$라 사용하기도 합니다.

1.2 기댓값의 실생활 예시

앞서 기댓값의 정의와 간단한 예시를 살펴봤는데요. 또 다른 실제 예시를 들어보도록 하겠습니다.

예제1

로또 당첨 금액의 기댓값을 구하여라.

【해설】

로또 1등 당첨 확률은 $\frac{1}{8145060}$, 2등 당첨 확률은 $\frac{1}{1357510}$, 3등 당첨 확률은 $\frac{1}{35724}$, 4등 당첨 확률은 $\frac{1}{733}$, 5등 당첨 확률은 $\frac{1}{45}$이다(계산생략). 당첨 금액은 대략적으로 실수령액이 1등 20억, 2등 5천만원, 3등 140만원, 4등 5만원, 5등 5천원이므로 기댓값은 만원 단위로 다음과 같다.
$200000\times \frac{1}{8145060}+5000\times \frac{1}{137510}+140\times \frac{1}{35724}+5\times \frac{1}{733}+0.5\times \frac{1}{45}$
$=0.0827$

즉 여러분은 로또를 사시면 당첨금액은 한 게임당 827원이 받을 수 있는 금액으로 측정됩니다.

한 게임에 1000원이면 확률이론상 그렇게 나쁜 게임은 아니라는 뜻인 것을 알 수 있습니다.

로또 뿐만 아니라 복권도 당첨 확률을 알면 기댓값을 쉽게 구할 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

2. 기댓값의 합의 법칙

2.1 기댓값의 합의 법칙이란?

기댓값의 합의 법칙은 기댓값이 선형적이라는 것을 뜻합니다.

기댓값의 합의 법칙

임의의 실수 $a,b$, 변수 $X,Y$에 대해 다음이 성립한다.

 

(1) $E(aX+b)=aE(X)+b$

(2) $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

간단히 합쳐서 $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$라 나타낸다.

【증명】

변수 $X$는 $x_1,x_2.\cdots ,x_n$중에 하나의 값을 갖는다고 하자. 그리고 그 값을 갖는 확률이 각각 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$이라 하자. 기댓값의 정의로부터 다음을 알 수 있다.

 

$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(aX+b)}& =(a{x}_1+b)p_1+(a{x}_2+b)p_2+\cdots +(a{x}_n+b)p_n\\ & =a(x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n)+b(p_1+p_2+\cdots +p_n)\\ & =aE(X)+b\end{array}$

 

 

연습문제1

(2)를 증명하여라.

2.2 기댓값의 합의 법칙 예시

실제 예시를 들어 실생활에 어떻게 이용되고 있는지 알아보도록 하겠습니다.

예제2

앞의 로또 예시에서 다음의 기댓값을 구하여라.

 

(1) 두 장을 살 때의 기댓값을 구하여라.

(2) 한 장을 사면 100원을 줄 때 기댓값을 구하여라.

【해설】

(1) $E(2X)=2E(X)$이므로 $2\times 0.0827=0.1654$
(2) $E(X+0.01)=E(X)+0.01$이므로 $0.0827+0.01=0.0927$

단순히 두 장 사면 두 배가 된다는 뜻입니다! 쉽죠?

3. 기댓값의 곱의 법칙

3.1 기댓값의 곱의 법칙이란?

기댓값의 곱의 법칙

변수 $X,Y$에 대하여 $X$와 $Y$가 독립일 때 다음이 성립한다.

 

$E(XY)=E(X)E(Y)$

【증명】

변수 $X$는 $x_1,x_2.\cdots ,x_n$중에 하나의 값을 갖고 그 값을 갖는 확률이 각각 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$이라 하자. 그리고 변수 $Y$는 $y_1,y_2.\cdots ,y_m$중에 하나의 값을 갖고 그 값을 갖는 확률이 각각 $q_1,q_2,\cdots ,q_m$이라 하자. 그러면 독립으로부터 다음을 알 수 있다.

 

$P(X=x_s\cap Y=y_t)=P(X=x_s)P(Y=y_t)$

 

단 $1\le s\le n,1\le t\le m$

따라서 기댓값의 정의로부터 다음을 알 수 있다.

 

$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(XY)}& =(x_1{y}_1{p}_1{q}_1+x_1{y}_2{p}_1{q}_2+\cdots +x_n{y}_m{p}_n{q}_m)\\ & =(x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n)(y_1{1}_1+y_2{q}_2+\cdots +y_m{q}_m)\\ & =E(X)E(Y)\end{array}$

 

 

오늘의 학습 정리

집합의 개수 정리

【기댓값】

$E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$

 

【기댓값의 합의 법칙】

$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$

 

【기댓값의 곱의 법칙】

변수 $X,Y$에 대하여 $X$와 $Y$가 독립일 때 $E(XY)=E(X)E(Y)$

 

기댓값은 확률에서 단순하게 보이지만 대학과정에서는 어느 의미에서 적분을 뜻합니다.

기댓값은 경우의 수, 확률의 최종적인 집합체 개념으로 꼭 학습해두셔야 합니다.