[확률과 통계]여사건, 독립시행, 반복시행의 확률 심화 개념

 

 

 

여사건, 독립시행, 반복시행

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

오늘은 여러가지 확률계산하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

어떤 경우에 어떻게 확률을 계산하는지 알고 계시면 쉽게 문제를 해결하실 수 있으실 겁니다!

 

목차

• 1. 여사건
• 2. 독립시행
• 3. 반복시행
• 오늘의 학습 정리

1. 여사건

1.1 여사건이란?

여사건은 앞서 배운 여집합과 비슷한 개념입니다!

여사건의 정의

사건 $A$에 대해 $A$가 일어나지 않을 사건을 $A$의 여사건이라 하며 $\overline{A}$ 또는 $A^c$라 나타낸다.

여사건은 전사건 $U$에 대하여 나머지 부분이라 보시면 될 것 같습니다!

즉 $U=A\cup A^c$와 같은 관계가 성립하는 것을 알 수 있습니다.

물론 $A\cap A^c=\mathrm{\varnothing }$입니다.

 

 

1.2 여사건의 확률

앞서 여사건의 정의를 알아봤으면 여사건의 확률도 쉽게 구할 수 있습니다!

여사건의 확률

전사건을 $U$라 할 때 사건 $A$에 대하여 다음이 성립한다.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(U)}& =P(A)+P(\overline{A})\end{array}$

【증명】

특히 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$일 때는 다음을 알 수 있다. $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$

양변을 $n(U)$로 나누어주면 주어진 식이 성립한다.

 

그럼 여사건은 언제 사용하면 좋을까요? 문제에서 많은 경우의 수를 구하는 것보다 여사건의 경우의 수를 구하는 것이 쉬울 때 사용하면 좋습니다. 종종 ~가 아닌, 적어도~ 이런 문구가 들어가 있으면 보통 여사건으로 구하면 쉽게 해결되는 경우가 많습니다!

예제1

흰 공이 6개, 빨간 공이 5개 들어있는 상자에서 4개의 공을 꺼냈을 때 적어도 흰 공이 1개 이상 포함되는 확률을 구하여라.

【해설】

여사건으로부터 흰 공이 1개도 포함되지 않을 확률, 즉 모두 빨간 공을 뽑을 확률을 구하면 다음과 같다.
$\frac{{}_5{C}_4}{{}_{11}{C}_4}=\frac{\frac{5\times 4\times 3\times 2}{4\times 3\times 2\times 1}}{\frac{11\times 10\times 9\times 8}{4\times 3\times 2\times 1}}=\frac{1}{66}$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.
$1-\frac{1}{66}=\frac{65}{66}$

2. 독립시행

2.1 독립시행이란?

확률에서 매우 중요한 성질중에 하나인 독립에 대해 알아보겠습니다.

독립은 Independence라 하며 여러 사건에 대하여 서로가 서로에게 영향을 안 끼칠때 독립이라고 합니다.

독립의 정의

두 개의 시행 $S,T$에 대하여 시행의 결과가 서로에 영향이 없다고 할 때 시행 $S$와 $T$는 서로 독립이라 한다. 또는 시행 $S$로부터 일어난 사건 $A$,시행 $T$로부터 일어난 사건 $B$에 대해서 사건 $A$와 $B$는 독립이라 한다.

2.2 독립시행의 확률

독립시행일 때 다음이 성립하는 것은 꼭 외워두시기 바랍니다!

 

독립시행의 확률

독립인 시행 $S$와 $T$에 대하여 시행 $S$로부터 사건 $A$가 일어나고 시행 $T$로부터 사건 $B$가 일어날 때 다음이 성립한다.

 

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

 

위의 성질은 대학교 과정에서 증명하지만 고등교과과정에서 정의처럼 외워두시는게 좋습니다!

중요한 사실은 역이 성립하지 않는 다는 것입니다!

즉 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$이 성립해도 사건 $A$와 $B$가 꼭 독립이라는 것은 아니라는 점입니다.

 

예제2

영희, 철수, 민수 세 사람이 합격할 확률이 각각 $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}$일 때 한 사람만 합격할 확률을 구하여라.

【해설】

영희, 철수, 민수가 각각 합격할 확률은 독립적이다.
영희만 합격할 확률 $\frac{1}{2}(1-\frac{2}{3})(1-\frac{3}{4})=\frac{1}{24}$
철수만 합격할 확률 $(1-\frac{2}{3})\frac{2}{3}(1-\frac{3}{4})=\frac{2}{24}$
민수만 합격할 확률 $(1-\frac{2}{3})(1-\frac{2}{3})\frac{3}{4}=\frac{3}{24}$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.
$\frac{1}{24}+\frac{2}{24}+\frac{3}{24}=\frac{1}{4}$

연습문제1

사건 $A$와 $B$가 독립일 때 다음이 성립하는 것을 증명하여라.

$P(A\cap B^c)=P(A)P(B^c)$

$P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B)$

$P(A^c\cap B^c)=P(A^c)P(B^c)$

3. 반복시행

3.1 반복시행이란?

반복시행은 같은 행위를 여러번 하는 것을 뜻합니다..

반복시행

같은 조건에서 같은 행위를 반복할 때 각 회수의 시행은 독립니다. 이와 같이 독립적인 시행을 반복하는 것을 반복시행이라 한다.

3.2 반복시행의 확률

반복시행의 확률

한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률을 $p$라 하자. 이 때 $n$번 시행할 때 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 다음과 같다.

${}_n{C}_r{p}^r(1-p{)}^{n-r}$

$n$번 중에 $r$번 일어나는 경우의 수는 $n$개 중에서 $r$를 뽑는 것과 같으므로 조합을 사용하였습니다. 그리고 여사건을 활용하여 사건 $A$가 일어나지 않을 확률을 $1-p$로 나타냈습니다.

예제2

주사위를 5번 던졌을 때 3의 배수인 수가 윗면에 3번 나올 확률을 구하여라.

【해설】

3의 배수는 3, 6이므로 3의 배수가 나올 확률은 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이다.
따라서 반복시행의 확률로부터 다음을 알 수 있다.
${}_5{C}_3(\frac{1}{3}{)}^3(\frac{2}{3}{)}^2=\frac{40}{243}$

오늘의 학습 정리

여러가지 확률계산 정리

【여사건의 확률】

사건 $A$에 대하여 $P(A)=1-P(A^c)$)

 

【독립시행의 확률】

사건 $A$와 $B$가 독립일 때 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

 

【반복시행의 확률】

사건 $A$가 일어날 확률을 $p$라 할 때 $n$번 시행할 때 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률 ${}_n{C}_r{p}^r(1-p{)}^{n-r}$

 

위의 여러가지 확률을 계산하는 방법은 실제 확률문제를 푸는데 많은 도움이 됩니다. 꼭 복습하여 실전에 적재적소 사용하시기를 바라겠습니다!