[확률과 통계]확률변수의 변환과 표준화, 연습문제 심화개념

 

 

 

확률변수의 변환, 표준화, 연습문제

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

오늘은 확률변수의 변환과 표준화에 대해 알아보도록 하겠습니다.

지난신간에 배운 확률변수는 일종의 함수라고 배웠습니다.

우리는 $f(x)=x$라고 했을 때 $f(2x)=2f(x)$가 되는 것은 쉽게 알 수 있습니다.

이처럼 확률변수도 함수의 특징인 실수배와 실수를 더했을 때 어떤 변화가 있는지 알아보도록 하겠습니다.

그리고 표준화란 무엇인지에 대해 알아보도록 하겠습니다.

목차

• 1. 확률변수의 변환
• 2. 표준화
• 3. 연습문제
• 오늘의 학습 정리

1. 확률변수의 변환

1.1 확률변수에 실수를 곱하면?

확률변수의 변환에 따라 기댓값, 분산, 표준편차가 어떻게 변하는지 알아보겠습니다.

두 개의 집합의 합집합의 원소의 개수

확률변수 $X$와 임의의 실수 $a,b$에 대해 확률변수 $Y$를 $Y=aX+b$라 하자. 이 때 다음을 알 수 있다.

 

기댓값 $E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b$

 

분산 $V(Y)=V(aX+b)=a^{2}V(X)$

 

표준편차 $\sigma (Y)=\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$

【증명】

$P(X=x_1)=p_1,P(X=x_1)=p_1,\cdots ,P(X=x_n)=p_n$이라 할 때 다음을 알 수 있다.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(Y)}& =\sum _{k=1}^n{y}_k{p}_k\\ & =\sum _{k=1}^n(a{x}_k+b)p_k\\ & =a\sum _{k=1}^{n}a{x}_k{p}_k+b\sum _{k=1}^n{p}_k\\ & =aE(X)+b\end{array}$

연습문제1

분산과 표준편차에 대해서도 증명하여라.

2. 확률변수의 표준화

2.1 확률변수의 표준화란?

확률변수의 표준화란 무엇인지 알아보기 전에 위에서 배운 개념을 바로 적용시킨 문제를 보도록 하겠습니다.

예제1

확률변수 $X$에 대해 기댓값 $E(X)=m$, 표준편차 $\sigma (X)=\sigma$라 하자. 확률변수 $Z=\frac{X-m}{\sigma }$에 대해 $E(Z)=0,\sigma (Z)=1$인 것을 보여라.

【해설】

$Z=\frac{X-m}{\sigma }=\frac{1}{\sigma }X-\frac{m}{\sigma }$ 따라서 다음을 알 수 있다. $E(Z)=E(\frac{1}{\sigma }X-\frac{m}{\sigma })=\frac{1}{\sigma }E(X)-\frac{m}{\sigma }=\frac{1}{\sigma }\cdot m-\frac{m}{\sigma }=0$ $\sigma (Z)=\sigma (\frac{1}{\sigma }X-\frac{m}{\sigma })=\left|\frac{1}{\sigma }\right|\sigma (X)=\frac{1}{\sigma }\cdot \sigma =1$

확률변수의 표준화

확률변수 $X$에 대해 기댓값 $E(X)=m$, 표준편차 $\sigma (X)=\sigma$라 하자. 이 때 변환 $Z=\frac{X-m}{\sigma }$를 확률변수 $X$의 표준화라 한다.

이처럼 확률변수의 표준화란 임의의 확률변수를 확률변환을 이용하여 평균이 0 표준편차가 1인 확률변수로 바꾸는 것을 뜻합니다.

3. 연습문제

3.1 확률의 변환 연습문제

예제를 통해 오늘 학습내용을 복습하도록 하겠습니다.

예제2

확률변수 $X$의 기댓값이 600, 분산이 2500이다. $Y=aX+b(a>0)$으로 정해지는 확률변수 $Y$의 기댓값이 80, 표준편차가 10일 때 상수 $a,b$의 값을 구하여라.

【해설】

$E(Y)=aE(X)+b$로부터 $80=a\cdot 600+b$
$V(Y)=a^{2}V(X)$로부터 ${10}^2=a^2\cdot 2500$
$a>0$이므로 $a=\frac{1}{5},b=-40$

예제2

한 번하는데 100원을 내고 주사위를 한 번 던져 나온 눈이 $X$일 때 $mX+n$를 받는 게임이 있다고 하자. 단 $m,n$는 자연수다. 게임을 한 번 할 때 얻는 수익을 $Y$라 하고 $E(Y)=0$일 때 $V(Y)$의 최솟값과 그 때의 $m,n$의 값을 구하여라.

【해설】

$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot 16+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{2}$
$Y=mX+n-100$로부터 $E(Y)=mE(X)+n-100=\frac{7}{2}m+n-100=0$
$n=100-\frac{7}{2}m>0$로부터 $0<m<\frac{200}{7}$
$E(X^2)=1^2\cdot \frac{1}{6}+2^2\cdot 16+\cdots +6^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{91}{6}$
$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{91}{6}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{35}{12}$
따라서 $V(Y)=m^{2}V(X)=\frac{35}{12}{m}^2$
$\therefore m=2,n=93$일 때 $V(Y)$의 최솟값 $\frac{35}{3}$

오늘의 학습 정리

확률의 변환 정리

【확률의 변환】

확률변수 $X$와 임의의 실수 $a,b$에 대해 확률변수 $Y$를 $Y=aX+b$라 하자.

 

기댓값 $E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b$

 

분산 $V(Y)=V(aX+b)=a^{2}V(X)$

 

표준편차 $\sigma (Y)=\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$

 

【확률변수의 표준화】

확률변수 $X$에 대해 기댓값 $E(X)=m$, 표준편차 $\sigma (X)=\sigma$라 하자.

이 때 변환 $Z=\frac{X-m}{\sigma }$를 확률변수 $X$의 표준화라 한다.

 

표준화는 뒤이어 나오는 개념에 중요한 기초가 되니 꼭 알아 두시기를 바라겠습니다.