[수학Ⅱ]7.중간값 정리

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『연속함수의 중요한 성질』

 

지난 시간에 연속함수의 중요한 성질인

최댓값과 최솟값의 정리에 대해 알아봤습니다!

 

 

오늘은 최댓값과 최솟값의 정리의 응용버전인

중간값의 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

중간값의 정리도 마찬가지로 폐구간에서 연속함수인 경우에만 성립하는 정리입니다.

그럼 중간값의 정리와 그에 대한 응용도 배워보도록 하겠습니다.

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• 중간값의 정리
• 중간값의 정리와 그래프의 교점
• 중간값의 정리와 방정식의 실수해의 존재
• 연습문제

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함수의 연속성은 정말 중요한 함수의 성질입니다.

대학과정에서는 심화된 연속함수의 성질을 배울 수 있습니다.

고등교과과정에서는 연속함수의 마지막 성질인

중간값의 정리를 끝으로 연속함수의 특징을 마무리 짓겠습니다.

 

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중간값의 정리

  함수 \(f(x)\)가 폐구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a) \neq f(b)\)이면 \(f(a)\)와 \(f(b)\)의 사이의 임의의 값 \(k\)에 대해 \(f(c)=k\)가 되는 실수 \(c\)가 \(a\)와 \(b\)사이에 적어도 하나 존재한다.

 

 

중간값의 정리는 간단히 말하면 폐구간의 양끝에서 함수의 값이 다를 때

그 함수사이에 값을 적어도 하나 갖는다는 것을 뜻합니다.

중간값의 정리는 이전 시간에 배운 최댓값과 최솟값의 정리로부터 증명할 수 있습니다!

 

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중간값의 정리와 그래프의 교점

 함수 \(f(x)\)가 폐구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a) \neq f(b)\)이면 \(f(a)\)와 \(f(b)\)의 사이의 임의의 값 \(k\)에 대해 \(y=f(x)\)와 \(y=k\) 두 개의 그래프가 \(a < x < b \)에 적어도 하나 교점을 갖는다.

 

 

 

위의 정리는 일반적인 중간값의 정리와 별 다를 바와 없어 보입니다.

하지만 두 개의 그래프의 교점이라는 사실로 바뀌었습니다.

여기서는 단순히 \(y=k\)와의 교점이지만 다른 그래프와 교점을 만들 수 있겠죠?

 

 

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중간값의 정리와 방정식의 실수해의 존재

 함수 \(f(x)\)가 폐구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a)\)와 \(f(b)\)가 다른 부호 즉 \(f(a)f(b) < 0\)이면 방정식 \(f(x)=0\)는 \(a\)와 \(b\)사이에 적어도 하나 실수해를 갖는다.

 

위의 정리는 중간값의 정리와 그래프의 교점 파트에서 \(y=0\)을 대입하였을 때와 같습니다.

즉 폐구간 양끝에서 서로 부호가 다른 함수값을 갖는다면 반드시 \(y=0\)를 지난다는 것을 뜻합니다!

 

 

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연습문제

(1) 중간값의 정리를 함수의 최댓값과 최솟값의 정리로부터 증명하여라.

(2) 중간값의 정리와 방정식의 실수해의 존재는 앞서 설명했듯 중간값의 정리와 그래프의 교점으로부터 쉽게 알 수 있다. 또 다른 중간값의 정리와 그래프의 교점의 예시를 들어라.

 

 

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