[수학Ⅰ]5.수열 연습문제

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『수열 연습문제』

 

수열 연습문제입니다.

연습문제 모두 본수학(수학Ⅰ)에서 발췌된 문제입니다.

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• 연습문제1
• 연습문제2
• 연습문제3

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연습문제1

 \(c\)를 상수라 하고 수열 \(\{a_n\}\)이 다음에 의해 정해진다고 하자.

 

$$a_{1}=c, a_{n+1}-2a_{n}=4^{n} (n=1, 2, 3, \cdots) $$

 

이 때 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) \(b_{n}=\cfrac{a_{n}}{2^n}\)이라 하자. \(b_{n+1}\)를 \(b_{n}\)를 이용하여 식으로 나타내어라.

(2) \(c=2\)일 때 \(a_{n}\)를 \(n\)를 이용하여 식으로 나타내어라.

(3) \(c=-10^{100}\)일 때 \(a_{n} \geq 0\)이 되는 최소의 \(n\)를 구하여라. 단 \(\log 2=0.3010\)이라 하자.

 

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연습문제2

 다음의 조건에 의해 정해지는 각 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\)를 생각하자.

$$a_{1}=5$$ $$\sqrt{\cfrac{a_{n+1}}{5}}=a_{n} (n=1, 2, 3, \cdots)$$

 

다음의 물음에 답하여라.

 

(1) 수열 \(b_{n}\)이 다음과 같이 정해질 때 일반항 \(b_{n}\)를 구하여라. $$b_1=1, b_{n+1}=3b_{n}+1 (n=1, 2, 3, \cdots)$$

 

(2) \(a_n=\log_5 a_n\)이라 하자. \(c_{n+1}\)를 \(c_n\)으로 나타내어라.

 

(3) \(a_{n}\)를 구하여라. 그리고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n\)는 홀수인 것을 보여라.

 

 

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연습문제3

\(p\)를 소수라 하자. 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) 분모가 \(p\)인 기약분수이고 0보다 크고 1보다 작은 것의 개수를 구하여라.

 

(2) \(k\)를 자연수라 하자. 분모가 \(p\)인 기약분수중에 \(k-1\)보다 크고 \(k\)보다 작은 것들의 합 \(S_k\)를 구하여라.

 

(3) \(n\)을 자연수라 하고 \(S_k\)를 (2)에서 구한 값이라 하자. 합 \(\sum\limits_{k=1}^n S_k\)를 구하여라.

 

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