[선형대수] 내적의 정의와 성질, 예시

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내적의 정의와 성질, 예시

 

안녕하세요.

본수학 저자입니다.

 

대학수학 선형대수 개념정리입니다. 

 

 

글 순서

1. 내적의 정의

2. 내적의 예시

3. 내적의 성질

4. 본수학 네이버 카페

 

내적의 정의

내적의 정의

행렬과 벡터의 내적은 행렬과 벡터 간의 연산으로, 특히 행렬이 벡터를 변환할 때 중요합니다.

행렬 \(A\)와 벡터 \(x\)의 내적은 다음과 같이 정의됩니다.

\(y = A x\)

여기서, \(y\)는 새로운 벡터이며, 행렬 \(A\)의 각 행과 벡터 \(x\)의 내적을 계산하여 얻어집니다.

내적은 다음과 같이도 나타냅니다.

\(y = (A, x)\)

 

내적의 예시

구체적인 예시

행렬\(A\)와 벡터 \(x\)를 다음과 같이 정의합니다.

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}\)

이때, 내적은 다음과 같이 계산됩니다.

\(y = A x = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*5 + 2*6 \\ 3*5 + 4*6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}\)

내적의 성질

내적의 성질

행렬과 벡터의 내적에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다. 

• 선형성:\(A(x + y) = Ax + Ay\) 및 \(A(cx) = c(Ax)\) (여기서, \(c\)는 스칼라)
• 결합성: \((AB)x = A(Bx)\)
• 단위 행렬: 단위 행렬 \(I\)에 대해, \(Ix = x\)

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