[선형대수]노름의 정의와 성질, 삼각부등식의 증명

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안녕하세요.

본수학 저자입니다.

 

대학수학 선형대수 개념정리입니다. 

 

 

글 순서

1. 내적의 노름의 정의

2. 내적의 노름의 성질

3. 노름의 삼각부등식의 증명

4. 본수학 네이버 카페

 

내적의 노름의 정의

내적의 노름(norm)은 벡터의 크기를 측정하는 방법 중 하나입니다.

내적은 두 벡터 간의 관계를 나타내는 스칼라 값을 생성합니다.

두 벡터 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) 과 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\) 의 내적은 다음과 같이 정의됩니다.

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\)

벡터의 노름(크기)은 내적을 사용하여 다음과 같이 정의됩니다.

\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}\)

내적의 노름의 성질

• 노름은 항상 비음수가 된다: \(\|\mathbf{a}\| \geq 0\)
• 제로 벡터의 노름은 제로이다: \(\|\mathbf{0}\| = 0\)
• 스칼라 곱의 노름: \(\|c\mathbf{a}\| = |c| \|\mathbf{a}\|\) (여기서, \(c\) 는 스칼라)
• 삼각 부등식: \(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \leq \|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\|\)

노름의 삼각부등식의 증명

벡터 \(\mathbf{a}\) 와 \(\mathbf{b}\) 의 내적을 사용하여 증명하겠습니다.

먼저, 노름의 정의에 따라 다음과 같이 씁니다.

\(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})\)

내적의 분배 법칙을 사용하면, 다음과 같이 됩니다.

\(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + \|\mathbf{b}\|^2\)

여기서, 내적의 성질에 의해 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|\) 가 성립합니다.

이를 사용하면 다음과 같습니다.

\(2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \leq 2\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|\)

따라서 다음과 같은 부등식이 얻어집니다.

\(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 \leq \|\mathbf{a}\|^2 + 2\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| + \|\mathbf{b}\|^2\)

우변은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.

\(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 \leq (\|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\|)^2\)

이 부등식의 양변에 제곱근을 취하면 다음과 같습니다.

\(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \leq \|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\|\)

 

 

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