[선형대수]전치행렬의 정의와 성질, 공액전치행렬(에르미트 전치 행렬)의 정의와 성질

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전치행렬의 정의와 성질, 공액전치행렬의 정의와질

 

안녕하세요.

본수학 저자입니다.

 

대학수학 선형대수 개념정리입니다. 

 

 

글 순서

1. 전치행렬의 정의

2. 전치행렬의 성질

3. 공액전치행렬의 정의와 성질

4. 본수학 네이버 카페

 

전치행렬의 정의

행렬 \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)의 전치행렬은 행렬의 행과 열을 바꾼 것으로, \(A^T\)로 표기됩니다. 구체적으로, 전치행렬은 다음과 같이 정의됩니다.

\[A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}\]

전치행렬의 성질

전치행렬에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다. 먼저, 전치를 두 번 하면 원래의 행렬로 돌아온다는 성질이 있습니다. 즉, 다음과 같이 표현됩니다.

\[(A^T)^T = A\]

또한, 두 행렬의 합의 전치는 각각의 행렬의 전치의 합과 같다는 것이 증명됩니다. 즉,

\[(A + B)^T = A^T + B^T\]

더 나아가, 스칼라 곱의 전치는 스칼라를 밖으로 꺼낼 수 있으며, 다음과 같이 됩니다.

\[(cA)^T = cA^T\] (c는 스칼라)

두 행렬의 곱의 전치는 전치의 순서를 반대로 한 곱과 같다는 것이 증명됩니다. 즉,

\[(AB)^T = B^T A^T\]

마지막으로, 가역행렬의 경우, 전치의 역행렬은 역행렬의 전치와 같다는 것이 증명됩니다. 즉,

\[(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\]

공액정치행렬의 정의

공액 전치 행렬이란

행렬 \(A\)의 공액 전치 행렬(켤레전치행렬 또는 에르미트 전치 행렬, 에르미트 수반 행렬) \(A^†\)는 행렬의 전치를 취한 후 각 요소의 복소 공액(켤레복소)을 취하는 작업입니다. 구체적으로, 행렬 \(A\)의 요소 \(a_{ij}\)에 대해, 공액 전치 행렬 \(A^†\)의 요소는 \(a_{ji}^*\)가 됩니다.

수식으로 표현

공액 전치 행렬은 다음과 같이 정의됩니다:

\(A^† = (A^T)^*\)

여기서, \(A^T\)는 행렬 \(A\)의 전치, \(^*\)는 켤레복소를 나타냅니다.

예

행렬 \(A\)를 다음과 같이 정의합니다.

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 + i \\ 3 - i & 4 \end{pmatrix}\)

이 행렬의 공액 전치 행렬\(A^†\)는 다음과 같습니다.

\(A^† = \begin{pmatrix} 1 & 3 + i \\ 2 - i & 4 \end{pmatrix}\)

공액 전치 행렬의 성질

공액 전치 행렬에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 성질이 있습니다.

• 공액 전치의 공액 전치는 원래의 행렬로 돌아온다:\((A^†)^† = A\)
• 행렬의 합의 공액 전치: \((A + B)^† = A^† + B^†\)
• 행렬의 곱의 공액 전치: \((AB)^† = B^† A^†\)

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