[선형대수]전치행렬의 정의와 성질, 공액전치행렬(에르미트 전치 행렬)의 정의와 성질

전치행렬의 정의와 성질, 공액전치행렬의 정의와질

 

안녕하세요.

본수학 저자입니다.

 

대학수학 선형대수 개념정리입니다. 

 

 

글 순서

1. 전치행렬의 정의

2. 전치행렬의 성질

3. 공액전치행렬의 정의와 성질

4. 본수학 네이버 카페

 

전치행렬의 정의

행렬 $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$의 전치행렬은 행렬의 행과 열을 바꾼 것으로, $A^T$로 표기됩니다. 구체적으로, 전치행렬은 다음과 같이 정의됩니다.

$$A^T=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)$$

전치행렬의 성질

전치행렬에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다. 먼저, 전치를 두 번 하면 원래의 행렬로 돌아온다는 성질이 있습니다. 즉, 다음과 같이 표현됩니다.

$$(A^T{)}^T=A$$

또한, 두 행렬의 합의 전치는 각각의 행렬의 전치의 합과 같다는 것이 증명됩니다. 즉,

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T$$

더 나아가, 스칼라 곱의 전치는 스칼라를 밖으로 꺼낼 수 있으며, 다음과 같이 됩니다.

$$(cA{)}^T=c{A}^T$$ (c는 스칼라)

두 행렬의 곱의 전치는 전치의 순서를 반대로 한 곱과 같다는 것이 증명됩니다. 즉,

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

마지막으로, 가역행렬의 경우, 전치의 역행렬은 역행렬의 전치와 같다는 것이 증명됩니다. 즉,

$$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$$

공액정치행렬의 정의

공액 전치 행렬이란

행렬 $A$의 공액 전치 행렬(켤레전치행렬 또는 에르미트 전치 행렬, 에르미트 수반 행렬) $A^{†}$는 행렬의 전치를 취한 후 각 요소의 복소 공액(켤레복소)을 취하는 작업입니다. 구체적으로, 행렬 $A$의 요소 $a_{ij}$에 대해, 공액 전치 행렬 $A^{†}$의 요소는 $a_{ji}^{\ast }$가 됩니다.

수식으로 표현

공액 전치 행렬은 다음과 같이 정의됩니다:

$A^{†}=(A^T{)}^{\ast }$

여기서, $A^T$는 행렬 $A$의 전치, ${}^{\ast }$는 켤레복소를 나타냅니다.

예

행렬 $A$를 다음과 같이 정의합니다.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2+i\\ 3-i& 4\end{array}\right)$

이 행렬의 공액 전치 행렬$A^{†}$는 다음과 같습니다.

$A^{†}=\left(\begin{array}{cc}1& 3+i\\ 2-i& 4\end{array}\right)$

공액 전치 행렬의 성질

공액 전치 행렬에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 성질이 있습니다.

• 공액 전치의 공액 전치는 원래의 행렬로 돌아온다:$(A^{†}{)}^{†}=A$
• 행렬의 합의 공액 전치: $(A+B{)}^{†}=A^{†}+B^{†}$
• 행렬의 곱의 공액 전치: $(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$

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