행렬의 가환성의 정의, 역행렬과 단위행렬의 정의
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본수학 저자입니다.
대학수학 선형대수 개념정리입니다.
글 순서
행렬의 가환성 정의
행렬 \(A\)와 \(B\)가 가환이다는 것은 다음 조건을 만족하는 것을 의미합니다.
\[AB = BA\]
여기서, \(A\)와 \(B\)는 같은 차원의 행렬이어야 합니다.
가환성은 행렬의 곱이 순서에 의존하지 않음을 나타냅니다.
즉, 행렬의 곱을 계산할 때, 행렬의 순서를 바꿔도 결과가 동일하다면, 이 행렬들은 가환이다고 합니다.
영행렬의 정의
영행렬이란 모든 요소가 0인 행렬을 의미합니다.
행렬\(O\)가 \(m \times n\)의 영행렬일 때, 다음과 같이 표현됩니다:
\[O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}_{m \times n}\]
여기서 모든 요소가 0임을 나타냅니다.
영행렬은 행렬의 덧셈에서 항등원의 역할을 합니다.
즉, 임의의 행렬 \(A\)에 대해 다음 관계가 성립합니다:
\[A + O = A\]
단위행렬의 정의
단위행렬이란 대각 성분이 모두 1이고, 나머지 성분이 모두 0인 정방행렬을 의미합니다.
행렬 \(I\)가 \(n \times n\)의 단위행렬일 때, 다음과 같이 표현됩니다:
\[I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{n \times n}\]
여기서 대각 성분이 1이고 비대각 성분이 0임을 나타냅니다.
단위행렬은 행렬의 곱에서 항등원의 역할을 합니다. 즉, 임의의 행렬 \(A\)에 대해 다음 관계가 성립합니다.
\[A \cdot I = A\]
또한, \[I \cdot A = A\]도 성립합니다.
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