[선형대수]대각행렬의 정의와 성질

대각행렬의 정의와 성질

 

안녕하세요.

본수학 저자입니다.

 

대학수학 선형대수 개념정리입니다. 

 

 

글 순서

1. 대각행렬의 정의

2. 대각행렬의 성질

3. 스칼라 곱과 행렬의 곱

4. 본수학 네이버 카페

 

대각행렬의 정의

대각 행렬이란 모든 비대각 성분이 0인 정사각 행렬을 의미합니다.

행렬 $A=[a_{ij}]$ 가 대각 행렬이 되기 위한 조건은 다음과 같이 표현됩니다.

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a_{33}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

여기서 $a_{ii}$ 는 대각 성분이며, 나머지 성분은 0입니다.

대각행렬의 성질

대각 행렬에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다.

먼저, 대각 행렬의 합은 다시 대각 행렬이 됩니다.

즉, 임의의 대각 행렬 $A$ 및 $B$ 에 대해 다음과 같이 표현됩니다.

$$A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}+b_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}+b_{nn}\end{array}\right)$$

스칼라 곱과 행렬의 곱

또한, 스칼라 곱이나 행렬의 곱에 대해서도 대각 행렬의 성질이 유지됩니다.

임의의 스칼라 $c$ 에 대해 대각 행렬 $A$ 의 스칼라 곱은 다음과 같이 표현됩니다

. $$cA=\left(\begin{array}{cccc}c{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& c{a}_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & c{a}_{nn}\end{array}\right)$$

또한, 대각 행렬 간의 곱도 대각 행렬이 됩니다.

$$AB=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{b}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}{b}_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}{b}_{nn}\end{array}\right)$$

 

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