[선형대수]대각행렬의 정의와 성질

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대각행렬의 정의와 성질

 

안녕하세요.

본수학 저자입니다.

 

대학수학 선형대수 개념정리입니다. 

 

 

글 순서

1. 대각행렬의 정의

2. 대각행렬의 성질

3. 스칼라 곱과 행렬의 곱

4. 본수학 네이버 카페

 

대각행렬의 정의

대각 행렬이란 모든 비대각 성분이 0인 정사각 행렬을 의미합니다.

행렬 \( A = [a_{ij}] \) 가 대각 행렬이 되기 위한 조건은 다음과 같이 표현됩니다.

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

여기서 \( a_{ii} \) 는 대각 성분이며, 나머지 성분은 0입니다.

대각행렬의 성질

대각 행렬에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다.

먼저, 대각 행렬의 합은 다시 대각 행렬이 됩니다.

즉, 임의의 대각 행렬 \( A \) 및 \( B \) 에 대해 다음과 같이 표현됩니다.

\[ A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} + b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} + b_{nn} \end{pmatrix} \]

스칼라 곱과 행렬의 곱

또한, 스칼라 곱이나 행렬의 곱에 대해서도 대각 행렬의 성질이 유지됩니다.

임의의 스칼라 \( c \) 에 대해 대각 행렬 \( A \) 의 스칼라 곱은 다음과 같이 표현됩니다

. \[ cA = \begin{pmatrix} ca_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & ca_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & ca_{nn} \end{pmatrix} \]

또한, 대각 행렬 간의 곱도 대각 행렬이 됩니다.

\[ AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix} \]

 

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