안녕하세요. 본수학 저자입니다.
오늘은 확률변수의 곱과 합에 대한 기댓값과 분산에 대해 알아보도록 하겠습니다.
앞서 확률변수의 기댓값과 분산에 대해 배웠는데 확률변수를 더한 것과 곱한 것의 기댓값과 분산은 어떻게 될까요?
중요한 독립이라는 개념을 사용하여 어떻게 되는지 알아보도록 하겠습니다.
목차
1. 확률변수의 독립
1.1 독립이란?
독립이란 서로 영향을 끼치지 않을 때 독립이라 합니다.
확률변수 \(X, Y\)가 가질 수 있는 모든 값 \(x_{i}, y_{j}\)에 대해 \(P(X=x_{i}, Y=y_{j})=P(X=x_{i})\cdot P(Y=y_{j})\)가 성립할 때 \(X\)와 \(Y\)는 서로 독립이라 한다.
2. 확률변수의 곱의 기댓값
2.1 확률변수의 곱의 기댓값
집합에서 중요한 성질 중 하나인 드모르간의 법칙에 대해 알아보도록 하겠습니다.
확률변수 \(X, Y\)가 독립일 때 다음이 성립한다.
\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
【증명】
확률변수 \(X\)는 \(x_{1}, x_{2}\)를 각각 \(p_{1}, p_{2}\)의 확률로 취하고 확률변수 \(Y\)는 \(y_{1}, y_{2}\)를 각각 \(q_{1}, q_{2}\)의 확률로 취한다고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 그리고 \(X=x_{m}\)이고 \(Y=y_{n}\)을 취할 확률을 \(r_{mn}\)과 같이 나타낸다. 단 \(1 \leq m,n \leq 2\)이다. 이때 확률변수가 독립이므로 \(r_{11}=p_{1}q_{1}, r_{12}=p_{1}q_{2}, r_{21}=p_{2}q_{1}, r_{22}=p_{2}q_{2}\)인 것을 알 수 있다. 이 때 다음을 알 수 있다.
\( \begin{align}
\displaystyle E(XY) & = x_{1}y_{1}r_{11}+x_{1}y_{2}r_{12}+x_{2}y_{1}r_{21}+x_{2}y_{2}r_{22} \\
& = x_{1}y_{1}p_{1}q_{1}+x_{1}y_{2}p_{1}q_{2}+x_{2}y_{1}p_{2}q_{1}+x_{2}y_{2}p_{2}q_{2} \\
& = x_{1}p_{1}(y_{1}q_{1}+y_{2}q_{2})+ x_{2}p_{2}(y_{1}q_{1}+y_{2}q_{2}) \\
& = (x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2})(y_{1}q_{1}+y_{2}q_{2}) \\
& = E(X)E(Y)
\end{align} \)
3개의 확률변수 \(X, Y, Z\)가 독립일 때 \(E(XYZ)=E(X)\cdot E(Y)\cdot E(Z)\)인 것을 보여라.
3개 이상의 확률변수에 대해서 독립을 말할 때 대학과정에서는 2가지의 독립을 다룹니다. mutually independent와 pairwise independent입니다. 하지만 고등학교 과정에서는 서로 독립이라는 문구로 모두 커버가 가능하니 신경안쓰셔도 될 것 같습니다!
3. 확률변수의 합의 기댓값과 분산
3.1 확률변수의 합의 기댓값
확률변수의 합의 기댓값은 어떻게 될지 한 번 알아보도록 하겠습니다.
\(a, b\)를 임의의 실수라 하자. 이 때 다음이 성립한다.
(1) \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
(2) \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
【증명】
(1) 확률변수 \(X\)는 \(x_{1}, x_{2}\)를 각각 \(p_{1}, p_{2}\)의 확률로 취하고 확률변수 \(Y\)는 \(y_{1}, y_{2}\)를 각각 \(q_{1}, q_{2}\)의 확률로 취한다고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 그리고 \(X=x_{m}\)이고 \(Y=y_{n}\)을 취할 확률을 \(r_{mn}\)과 같이 나타낸다. 단 \(1 \leq m,n \leq 2\) 이처럼 \(r_{11}+r_{12}=p_{1}, r_{11}+r_{21}=q_{11}\)인 것을 알 수 있다. 이 때 다음을 알 수 있다.
\( \begin{align}
\displaystyle E(X+Y) & = (x_{1}+y_{1})r_{11}+(x_{1}+y_{2})r_{12}+(x_{2}+y_{1})r_{21}+(x_{2}+y_{2})r_{22} \\
& = x_{1}(r_{11}+r_{12})_+x_{2}(r_{21}+r_{22})+y_{1}(r_{11}+r_{21})+y_{2}(r_{12}+r_{22}) \\
& = (x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2})+ (y_{1}q_{1}+y_{2}q_{2}) \\
& = E(X)+E(Y)
\end{align} \)
(2) \(E(aX)=aE(X)\)인 것과 (1)의 성질로부터 알 수 있다.
확률변수 \(X, Y, Z\)에 대해 \(E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)\)인 것을 보여라.
3.2 확률변수의 합의 분산
\(a, b\)를 임의의 실수라 하자. 확률변수 \(X\)와 \(Y\)가 독립일 때 다음이 성립한다.
(1) \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)
(2) \(V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)\)
【증명】
(1) 확률변수 \(X, Y\)가 독립인 것에 주의하면 다음을 알 수 있다.
\( \begin{align}
\displaystyle V(X+Y) & = E((X+Y)^{2})-\{E(X+Y)\}^{2} \\
& = E(X^{2}+2XY+Y^{2})-\{E(X)+E(Y)\}^{2} \\
& = E(X^{2})+2E(XY)+E(Y^{2})-\{E(X)\}^{2}-2E(X)\cdot E(Y)-\{E(Y)\}^{2} \\
& = E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}+E(Y^{2})-\{E(Y)\}^{2}+\{2E(XY)-E(X)\cdot E(Y)\} \\
& = V(X)+V(Y)
\end{align} \)
(2) \(V(aX)=a^{2}V(X)\)인 것과 (1)의 성질로부터 알 수 있다.
확률변수 \(X, Y, Z\)가 서로 독립일 때 \(V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)\)인 것을 보여라.
오늘의 학습 정리
【확률변수의 독립】
확률변수 \(X, Y\)가 가질 수 있는 모든 값 \(x_{i}, y_{j}\)에 대해 \(P(X=x_{i}, Y=y_{j})=P(X=x_{i})\cdot P(Y=y_{j})\)가 성립할 때
\(X\)와 \(Y\)는 서로 독립이라 한다.
【확률변수의 합과 곱의 기댓값과 분산】
임의의 실수 \(a, b\)에 대하여
(1) \(E(X+Y)+E(X)+E(Y)\)
(2) \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
특히 \(X, Y\)가 독립일 때
(3) \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
(4) \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)
(5) \(V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)\)
확률변수의 독립은 정말 중요한 개념입니다. 이 개념은 대학과정에서도 중요한 개념이니 꼭 숙지해두시길 바라겠습니다.
확률변수 \(X\)가 자기 자신과 독립일 때 확률변수 \(X\)의 기댓값은 0 또는 1인 것을 보여라.