안녕하세요. 본수학 저자입니다.
오늘은 집합의 원소의 개수와 드모르간의 법칙에 대해 알아보도록 하겠습니다.
집합의 원소의 개수를 구하는 것은 경우의 수 단원의 가장 기본적인 내용이며 다양한 집합기호에 따라 원소의 개수가 어떻게 될지, 그 때 사용되는 드모르간의 법칙에 대해 알아보도록 하겠습니다.
목차
1. 유한집합과 무한집합
1.1 유한집합과 무한집합
집합의 종류는 원소의 개수에 따라 다음과 같이 나눌 수 있습니다.
원소의 개수가 유한개일 때 집합을 유한집합이라 한다.
원소의 개수가 무한개일 때 집합을 무한집합이라 한다.
예를 들어 유한집합이라 하면 다음과 같이
\(\{\)1， 2， 4， 8， 16， 32\(\}\)
원소의 개수가 정해진 집합을 뜻합니다.
무한집합이라 하면 원소의 개수가 다음과 같이 무한개의 집합을 무한집합이라 합니다.
\(\{\)1， 2， 4， 8， 16， 32, \(\cdots\)\(\}\)
2. 집합의 원소의 개수
2.1 유한집합의 원소의 개수
무한집합의 원소의 개수는 원소가 무한개이므로 세는 것에는 의미가 없습니다.
하지만 유한집합의 경우 원소의 개수가 정해져 있어 유한집합의 원소의 개수를 세는 것은 물론, 유한집합의 연산으로 이루어진 집합의 원소의 개수를 세는 것도 중요합니다.
우선 원소의 개수를 어떻게 표기하는지 알아보도록 하겠습니다.
유한집합의 원소의 개수를 \(n(A)\)라 나타낸다. 특히 공집합 \(\emptyset\)는 원소를 갖지 않으므로 \(n(\emptyset)=0\)이다.
숫자를 뜻하는 number의 n을 따와 원소의 개수를 셀 때 위와 같이 표기합니다.
2.2 합집합의 원소의 개수
유한집합의 원소의 개수를 셀수 있으면 유한집합의 연산 특히 합집합의 원소의 개수도 셀 수 있습니다. 우선 집합 두 개의 합집합의 원소의 개수는 어떻게 되는지 알아보도록 하겠습니다.
유한집합 \(A, \; B\)에 대해 다음을 알 수 있다.
\( n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B) \)
특히 \(A\cap B=\emptyset\)일 때는 다음을 알 수 있다.
\( n(A \cup B)=n(A)+n(B) \)
【증명】
\(A\cap B=\emptyset\)일 때 \( n(A \cup B)=n(A)+n(B) \quad \cdots \quad \)①는 자명한 사실이다.
집합의 분배법칙을 사용하여 \(A \cup B\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ A \cup B = A \cup (A^{c} \cap B)$$
위의 우변은 모두 교집합이 공집합인 원소들의 합집합으로 구성되어 있으므로 ①에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$n(A \cup B) = n(A) + n(A^{c} \cap B) \quad \cdots \quad ②$$ 마찬가지로 \(B = (A\cap B)\cup (A^{c}\cap B)\)이므로 ①에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$n(B) = n(A\cap B)+ n(A^{c}\cap B)\quad \cdots \quad ③$$ ③으로부터 ②의 식은 다음과 같다. $$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$$ 따라서 다음을 알 수 있다. $$ n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B) $$여집합 기호는 아래에서 설명하도록 하겠습니다.
유한집합 \(A, \; B,\;C\)에 대해 다음을 알 수 있다.
\( n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C) \)
\(-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+-n(A\cap B \cap C) \)
- 집합 3개의 합집합의 원소의 개수를 보면 비슷한 유형으로 되어 있습니다. 마찬가지로 4개 이상의 집합의 합집합의 원소의 개수도 구할 수 있습니다.
위의 식을 증명하여라.
2.3 여집합의 원소의 개수
- 여집합의 여는 남을 여(餘)를 사용하여 남은 부분에 대한 집합입니다. 따라서 남은 부분을 보려면 공간 전체를 뜻하는 전체 집합이 꼭 필요합니다. 간단히 학교에서 나 말고 다른 사람, 한국에서 나 말고 다른 사람, 지구에서 나 말고 다른 사람 처럼 전체 공간에 따라 여집합이 달라지기 때문입니다!
전체 집합 \(U\)의 부분집합 \(A\)에 대해 \(A\)의 여집합은 \(A\)에 속하지 않으며 \(U\)에 속한 원소들의 집합이며 \(A^{c}\)이라 나타낸다..
- 한마디로 여집합은 나 말고 다른 것들이라고 보시면 됩니다. 여집합은 영어로 Complementary Set으로 앞글자의 C를 따와 집합 오른쪽 위에 여집합의 기호를 표시합니다. 전체 집합(Universal Set)의 앞글자 U를 따와 보통 \(U\)라고 많이 표기합니다.
전체 집합 \(U\)와 그 부분집합 \(A\)에 대해 다음을 알 수 있다.
\( n(A)+n(A^{c})=n(U) \)
- 증명은 어렵지 않게 하실 수 있으리라 생각됩니다!
전체 집합 \(U = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)이고 \(U\)의 부분집합 \(A=\{1, 2, 3\}\)이 있을 때 \(A\)의 여집합 \(A^{c}\)를 구하여라.
- \(U\)는 \(\{1, 2, 3\}\)와 \(\{4, 5\}\)의 합집합으로 구성되므로 \(A^{c}\)는 \(\{4, 5\}\)이다.
3. 드모르간의 법칙
3.1 드모르간의 법칙이란?
집합에서 중요한 성질 중 하나인 드모르간의 법칙에 대해 알아보도록 하겠습니다.
두 집합의 합집합과 교집합의 여집합에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
$$(A \cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$$ $$(A \cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$$3.2 드모르간의 법칙과 집합의 원소의 개수
전체 집합 \(U\)와 그 부분집합 \(A, B\)에 대해 다음을 알 수 있다.
\( n(A^{c} \cap B^{c})=n((A\cup B)^{c})=n(U)-n(A \cup B) \)
\( n(A^{c} \cup B^{c})=n((A\cap B)^{c})=n(U)-n(A \cap B) \)
오늘의 학습 정리
【합집합의 원소의 개수】
\( n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B) \))
【드모르간의 법칙과 원소의 개수】
\( n(A^{c} \cap B^{c})=n((A\cup B)^{c})=n(U)-n(A \cup B) \)
\( n(A^{c} \cup B^{c})=n((A\cap B)^{c})=n(U)-n(A \cap B) \)
경우의 수의 가장 기본적인 원소의 개수와 그에 따른 여러가지 정리에 대해 알아봤습니다. 다음 시간부터는 본격적인 경우의 수 단원이 시작되므로 오늘의 내용을 꼭 숙지해주시길 바라겠습니다.
집합 \(A=\{\emptyset\}\)의 원소의 개수 \(n(A)\)를 구하여라.