안녕하세요. 본수학 저자입니다.
오늘은 본격적으로 경우의 수 단원에 대해 공부해보도록 하겠습니다.
경우의 수란 어떤 사건이 일어날 수 있는 경우가 몇 개인지 구하는 것입니다.
목차
1. 경우의 수
1.1 경우의 수란?
경우의 수 단원을 공부하기 위해 경우의 수란 무엇인지 알아보도록 하겠습니다!
어느 사건에 대해 일어날 수 있는 모든 경우의 총 수를 경우의 수라 한다.
예를 들어 1부터 9까지 적힌 공이 어느 상자에 들어 있다고 합시다.
여기서 공을 한 개 꺼낼 때 짝수의 공을 뽑을 경우의 수는 얼마인가요?
짝수의 공은 2, 4, 6, 8 총 4개가 있으므로 경우의 수는 4가지입니다.
쉽죠??2. 합과 곱의 법칙
모든 수에는 사칙연산이 있는 것처럼 경우의 수에도 연산이 있습니다.2.1 합의 법칙이란?
합의 법칙은 사건들이 동시에 일어나지 않을 때(사건들이 독립적이라고 합니다) 각각의 경우의 수를 합할 수 있다는 법칙입니다.두 개의 사건 \(A\)와 \(B\)에 대해 이것들이 동시에 일어나지 않는다고 하자. \(A\)가 일어나는 방법이 \(a\)가지, \(B\)가 일어나는 방법이 \(b\)가지일 때 \(A\) 또는 \(B\)가 일어나는 경우의 수는 \(a+b\)가지다. 이것을 합의 법칙이라 한다. 3가지 이상의 사건에 대해서도 성립한다.
위에 설명만 들으면 이게 무슨 말인지 잘 이해가 안 될 수도 있습니다.
바로 예제를 들어봅시다!
- 1부터 3까지의 공을 뽑거나(사건 \(A\)가 일어나는 경우) 7부터 9까지의 공을 뽑는 것(사건 \(B\)가 일어나는 경우)이므로 경우의 수는 \(3+3=6\)가지다.
2.2 곱의 법칙이란?
곱의 법칙은 각각의 경우에 따라 또 다른 경우의 수를 구할 때 사용하는 법칙입니다.
두 개의 사건 \(A\)와 \(B\)에 대해 \(A\)가 일어나는 방법이 \(\a\)가지이고 그 각각의 경우에 대하여 \(B\)가 일어나는 방법이 \(b\)가지일 때 \(A\), \(B\)가 모두 일어나는 경우의 수는 \(a \times b\)가지다. 이것을 곱의 법칙이라 한다. 3가지 이상의 사건에 대해서도 성립한다.
1부터 9까지 적힌 공이 들어있는 상자에서 철수가 짝수의 공을 뽑는 사건을 \(A\), 영희가 홀수의 공을 뽑는 사건을 \(B\)라 하자. 철수가 짝수의 공을 뽑고 영희가 홀수의 공을 뽑는 경우의 수 즉 사건 \(A\), \(B\)가 모두 일어나는 경우의 수를 구하여라.
- 철수가 짝수의 공을 뽑는 사건(사건 \(A\)가 일어나는 경우)은 4가지, 영희가 홀수의 공을 뽑는 사건(사건 \(B\)가 일어나는 경우)은 5가지이다. \(A\)의 각각의 경우에 \(B\)가 일어나는 경우의 수를 구하면 되므로 구하고자 하는 경우의 수는 \(4\times5=20\)가지다.
3. 팩토리얼
경우의 수를 구하는 방법중에 팩토리얼을 사용한 방법이 있습니다. 우선 팩토리얼이란 무엇인지 알아보도록 하겠습니다.3.1 팩토리얼이란?
1부터 \(n\)까지의 자연수의 곱을 \(n\)의 팩토리얼이라 하고 \(n!\)이라 나타낸다. $$ n!=n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$$ 그리고 \(0!=1\)이라 정한다.
1부터 10까지 적힌 공을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하여라.
- 처음에 공을 나열할 수 있는 경우의 수는 10가지, 첫 번째에 공을 나열하고 각각의 경우에 대해 두 번째의 공을 나열할 수 있는 경우의 수는 9가지, 마찬가지로 두 번째 공을 나열하고 각각의 경우에 대해 세 번째의 공을 나열할 수 있는 경우의 수는 8가지, 이것이 반복되어 마지막으로 10번째 공을 나열하는 경우의 수는 1가지다. 곱의 법칙을 사용하면 구하고자 하는 경우의 수는 \(10\times 9 \times \cdots \times 2\times 1=10!\)
오늘의 학습 정리
【합의 법칙과 곱의 법칙】
사건 \(A\)의 경우의 수 \(+\) 사건 \(B\)의 경우의 수
사건 \(A\)의 경우의 수 \(\times\) 사건 \(B\)의 경우의 수
【팩토리얼】
\( n!=n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \)
경우의 수가 무엇인지 그리고 경우의 수에 가장 기본이 되는 공식에 대해 알아봤습니다. 다음 시간에는 순열에 대해 공부해보도록 하겠습니다.
1부터 9까지 적힌 공이 들어있는 상자에서 1부터 3까지의 공을 뽑는 사건을 \(A\), 7부터 9까지의 공을 뽑는 사건을 \(B\)라 하자. 사건 \(A\) 또는 \(B\), 즉 1부터 3까지의 공을 뽑거나 7부터 9까지의 공을 뽑는 경우의 수를 구하여라.