[확률과 통계]경우의 수 심화문제

 

심화문제

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

경우의 수 심화문제입니다.

모든 문제는 본수학-확률과 통계에서 발췌했습니다.

목차

• 1. 심화문제1
• 2. 심화문제2
• 3. 심화문제3

1. 심화문제1

경우의 수 심화문제1

수열 $a_1,a_2,\cdots$를 다음과 같이 정하자. $a_n=\frac{{}_{2n+1}{C}_n}{n!}$ ($n=1,2,3,\cdots$)

 

(1) $n\ge 2$라 하자. $\frac{a_n}{a_{n+1}}$를 기약분수 $\frac{a_n}{p_n}$로 나타냈을 때의 분모 $p_n\ge 1$과 분자 $q_n$를 구하여라.

 

(2) $a_n$이 정수가 되는 $n\ge$를 모두 구하여라.

2. 심화문제2

경우의 수 심화문제2

좌표평면상에 8개의 직선 $x=a$ ($a=1,2,3,4$), $y=b$ ($b=1,2,3,4,$)가 있다. 이하 16개의 점 $(a,b)$ $(a=1,2,3,4,b=1,2,3,4)$로부터 서로 다른 5개의 점을 고르는 것을 생각하자.

 

(1) 다음의 조건을 만족하는 5개의 점을 고르는 방법은 몇 가지인가?

 

위의 8개의 직선 중 선택한 점을 1개도 포함하지 않는 것이 정확히 2개다.

 

(2) 다음의 조건을 만족하는 5개의 점을 고르는 방법은 몇 가지인가?

 

위의 8개의 직선은 어느 것도 고른 점을 적어도 하나 포함한다.

3. 심화문제3

경우의 수 심화문제3

다음의 물음에 답하여라.

 

(1) 양의 홀수 $K,L$과 양의 정수 $A,B$가 $KA=LB$를 만족한다고 하자. $K$를 4로 나눈 나머지가 $L$를 4로 나눈 나머지와 같으면 $A$를 4로 나눈 나머지는 $B$를 4로 나눈 나머지와 같은 것을 보여라.

 

(2) 양의 정수 $a,b$가 $a>b$를 만족한다고 하자. 이 때 $A{=}_{4a+1}{C}_{4b+1},B{=}_a{C}_b$에 대해 $KA=LB$가 되는 양의 홀수 $K,L$이 존재하는 것을 보여라.

 

(3) $a,b$는 (2)대로 하고 $a-b$가 2로 나누어 떨어진다고 하자. ${}_{4a+1}{C}_{4b+1}$를 4로 나눈 나머지는 ${}_a{C}_b$를 4로 나눈 나머지와 같은 것을 보여라.

 

(4) ${}_{2021}{C}_{37}$를 4로 나눈 나머지를 구하여라.