안녕하세요. 본수학 저자입니다.
경우의 수 심화문제입니다.
모든 문제는 본수학-확률과 통계에서 발췌했습니다.
목차
1. 심화문제1
2. 심화문제2
좌표평면상에 8개의 직선 \(x=a\) (\(a=1, 2, 3, 4\)), \(y=b\) (\(b=1, 2, 3, 4, \))가 있다. 이하 16개의 점 \((a, b)\) \((a= 1, 2, 3, 4, b=1, 2, 3, 4)\)로부터 서로 다른 5개의 점을 고르는 것을 생각하자.
(1) 다음의 조건을 만족하는 5개의 점을 고르는 방법은 몇 가지인가?
위의 8개의 직선 중 선택한 점을 1개도 포함하지 않는 것이 정확히 2개다.
(2) 다음의 조건을 만족하는 5개의 점을 고르는 방법은 몇 가지인가?
위의 8개의 직선은 어느 것도 고른 점을 적어도 하나 포함한다.
3. 심화문제3
다음의 물음에 답하여라.
(1) 양의 홀수 \(K, L\)과 양의 정수 \(A, B\)가 \(KA=LB\)를 만족한다고 하자. \(K\)를 4로 나눈 나머지가 \(L\)를 4로 나눈 나머지와 같으면 \(A\)를 4로 나눈 나머지는 \(B\)를 4로 나눈 나머지와 같은 것을 보여라.
(2) 양의 정수 \(a, b\)가 \(a>b\)를 만족한다고 하자. 이 때 \(A=_{4a+1}C_{4b+1}, B=_{a}C_{b}\)에 대해 \(KA=LB\)가 되는 양의 홀수 \(K, L\)이 존재하는 것을 보여라.
(3) \(a, b\)는 (2)대로 하고 \(a-b\)가 2로 나누어 떨어진다고 하자. \(_{4a+1}C_{4b+1}\)를 4로 나눈 나머지는 \(_{a}C_{b}\)를 4로 나눈 나머지와 같은 것을 보여라.
(4) \(_{2021}C_{37}\)를 4로 나눈 나머지를 구하여라.
수열 \(a_{1}, a_{2}, \cdots\)를 다음과 같이 정하자. \(a_{n}=\cfrac{_{2n+1}C_{n}}{n!}\) (\(n=1, 2, 3, \cdots\))
(1) \(n \geq 2\)라 하자. \(\cfrac{a_{n}}{a_{n+1}}\)를 기약분수 \(\cfrac{a_{n}}{p_{n}}\)로 나타냈을 때의 분모 \(p_{n} \geq 1 \)과 분자 \(q_{n}\)를 구하여라.
(2) \(a_{n}\)이 정수가 되는 \(n\geq\)를 모두 구하여라.