[수학Ⅱ]9.도함수의 정의

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『내가 이만큼 변하면 너는 얼만큼 변할거야?』

 

이번 시간은 도함수(derivative)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

왜 도(導)함수일까?

 

 

영어로 derivative는 파생이라는 뜻을 나타내면서 도함수를 나타냅니다.

도함수는 원래의 함수에서 파생되었다는 뜻을 가지고 있죠.

 

 

처음 derivative를 한자로 바꾸기 위해 인도할 도(導)라는 한자를 채택하였습니다.

지극히 개인적인 생각이지만 함수를 나타낼 때 무수히 많은 점들을 이어서 나타냅니다.

그럼 이 무수히 많은 점들이 다음 점을 이을 방향을 나타내기 위해서는

앞서 배운 순간변화율의 개념이 필요한데 이것이 함수를 인도하는 의미가 아닌가라고 생각해

도(導)함수를 나타낸 것이라 생각합니다.

 

 

그럼 도함수의 정의부터 보도록 하겠습니다!

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• 도함수의 정의
• 도함수의 증분
• 도함수의 표기
• 연습문제

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앞서 다룬 내용처럼 수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수입니다.

 

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도함수의 정의

 함수 \(y=f(x)\)에 대해 다음의 \(f'(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수라 한다. $$f'(x)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

 

이전 시간에는 특정 점에 대한 순간변화율을 나타냈습니다.

도함수는 특정 점이 아닌 일반적인 \(x\)에 대해 나타냈습니다.

 

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도함수의 증분

 함수 \(y=f(x)\)의 도함수 \(f'(x)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)에 대해 \(h\)를 \(x\)의 증분이라 하고 \(\Delta x\)라 나타낸다. \(f(x+h)-f(x)\)를 \(y\)의 증분이라 하고 \(\Delta y\)라 나타낸다. $$ f'(x)=\displaystyle{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$

 

증분(增分)이란 증가한 정도를 뜻합니다.

쉽게 델타의 대문자를 사용해서 나타냅니다.

 

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도함수의 표기

\(y=f(x)\)의 도함수를 나타내는 기호는 다음과 같다. $$ f'(x), \{f(x)\}', (f(x))', y', \cfrac{dy}{dx}, \cfrac{d}{dx}f(x)$$

 

\(\cfrac{dy}{dx}\)를 읽으실 때는 디엑스 분의 디와이가 아닌 디와이 디엑스라 읽으시면 됩니다!

 

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연습문제

(1) \(y=x^3+3x^2+3\)의 도함수를 구하여라.

(2) \(x\)의 값이 \(a\)에서 \(a+h\)까지 변화하지 않고 \(a\)에서 \(a-h\)까지 변화하는 평균변화율에 대한 미분계수의 정의한 것처럼 \(\Delta\)가 아닌 \(-\Delta\)로 도함수를 정의해도 괜찮은지 생각해라..

 

 

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