[수학Ⅱ]11.미분의 활용 접선의 기울기

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『접촉사고가 일어났어』

 

자동차 사고중에 접촉사고라고 이야기를 들어본적이 있을 겁니다.

그냥 사고도 아니고 접촉사고는 무엇일까요?

진짜 살짝 자동차끼리 부딪쳐서 접촉해버린 사건을 뜻하죠.

많이 망가지지도 않고 움푹패이거나 도장이 벗겨져 버린 사고입니다.

 

 

접선도 이와 같은 느낌입니다.

곡선의 접선이라 하면 여러 접이 아닌 한 점에서 살짝 만나는 직선을 접선이라 합니다.

그럼 이 접선의 방정식은 어떻게 구할까요?

오늘은 미분을 활용하여 접선의 방정식을 구해보도록 하겠습니다.

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• 접선의 기울기
• 접선의 방정식과 법선의 방정식
• 두 곡선이 접하는 조건
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

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접선의 기울기

 좌표평면에 대해 곡선 \(y=f(x)\)상의 점 \((a, f(a))\)에 대한 접선의 기울기는 \(f'(a)\)와 같다

 

곡선의 한 점에서 접선의 기울기는 그 점에 해당하는 미분계수 또는 도함수의 값과 같습니다.

 

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접선의 방정식과 법선의 방정식

 좌표평면에 대해 곡선\(y=f(x)\)상의점 \((a, f(a))\)에 대한 접선의 방정식은 다음과 같다.

 

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

 

특히 점 \((a, f(a))\)를 접점이라 한다.

 

 좌표평면에 대해 곡선\(y=f(x)\)상의 점 \((a, f(a))\)에 대한 법선의 방정식은 다음과 같다.

 

(1) \(f'(a)\neq 0\)일 때 \(y=-\cfrac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a)\)

(2) \(f'(a)=0\)일 때 \(x=a\) 법선의 방정식의 일반항은 다음과 같다. $$x+f'(a)y=a+f'(a)f(a)$$

접선의 방정식

법선

바로 위에서 접선의 기울기를 알았습니다.

기울기를 알고 직선이 지나는 한 점을 아니깐 직선의 방정식을 알 수 있겠죠?

법선이란 직선과 한 점에서 수직으로 만나는 직선이므로 기울기의 곱은 \(-1\)이므로 법선의 방정식도 구할 수 있습니다.

 

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두 곡선이 접하는 조건

 좌표평면에 대해 두 곡선\(y=f(x), y=g(x)\)가 \(x=\alpha\)에서 공통접선을 가질 때 두 곡선은 \(x=\alpha\)에서 접한다고 한다. 이 때 다음을 알 수 있다.

 

$$f(\alpha)=g(\alpha)$$ $$f'(\alpha)=g'(\alpha)$$

 

앞서 말한 접촉사고 처럼 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가지면 접한다고 합니다.

즉 접촉사고가 일어난 것이죠.

공통접선을 가지면 당연히 접선의 기울기도 같겠죠?

 

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연습문제

(1) \(y=x^3+3x^2+3\)의 \(x=3\)에서의 접선의 방정식과 법선의 방정식을 구하여라.

(2) 법선의 방정식은 기울기에 따라 두 가지 경우로 나누었다. 접선의 방정식은 두 가지 경우로 나누지 않는지 그 이유를 구하여라.

 

 

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