[수학Ⅱ]12.함수의 증가와 감소

 

 

『함수의 모양을 알 수 있다고???』

 

함수의 모양을 결정짓는 요소는 무엇일까요?

바로 각 점에서의 미분계수입니다.

함수는 점들을 이어서 그리는데 연속한 점이

어디로 그어질지 나타내는 것이 미분계수입니다.

 

 

근데 미분계수는 앞서 도함수로 나타낼 수 있다고 했죠?

결론적으로는 도함수에 따라 함수의 모양이 결정짓게 됩니다.

어떻게 함수의 모양이 결정되는지 한 번 알아보도록 하겠습니다!

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• 함수의 단조증가, 단조감소
• 도함수의 등호와 함수의 증감
• 극값
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

함수의 단조증가, 단조감소

함수 \(f(x)\)에 대해 어느 구간의 임의의 값 \(s, t\)에 대해

 

(1) \(s < t \)이면 \(f(s) \leq f(t)\)가 성립할 때 \(f(x)\)는 그 구간에서 단조증가한다고 한다.

(2) \(s < t \)이면 \(f(s) \geq f(t)\)가 성립할 때 \(f(x)\)는 그 구간에서 단조감소한다고 한다.

 

단조증가는 monotonically increasing이라고 해요!

단조감소는 monotonically decreasing이고요!

그런데 \(f(s) \leq f(t)\)가 아닌 \(f(s) < f(t)\)인 경우는 strictly monotonic increasing이라고 해요.

즉 strictly 가 붙으면 더 강한 조건이 됩니다.

 

도함수의 등호와 함수의 증감

 함수 \(y=f(x)\)의 값의 증감은 다음과 같다.

 

(1) \(f'(x)>0\)이면 그 구간에서 \(f(x)\)는 증가한다.

(2) \(f'(x)<0\)이면 그 구간에서 \(f(x)\)는 감소한다.

 

도함수는 함수의 기울기를 나타내는 함수라고 배웠습니다.

그러면 기울기가 0보다 크면 함수는 증가하고 작아지면 감소하는 것을 알 수 있습니다.

따라서 도함수가 0보다 크거나 작을 때 함수가 증가하는지 감소하는지 알 수 있습니다.

 

극값

함수 \(y=f(x)\)에 대해 다음을 알 수 있다.

 

(1) \(x=a\) 전후로 \(f(x)\)의 값이 증가에서 감소가 될 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에 대해 극대가 된다고 한다. 이 때 \(y=f(x)\)상의 점을 극댓점이라 하고 값 \(f(a)\)를 극댓값이라 한다.

(2) \(x=a\) 전후로 \(f(x)\)의 값이 감소에서 증가가 될 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에 대해 극소가 된다고 한다. 이 때 \(y=f(x)\)상의 점을 극솟점이라 하고 값 \(f(a)\)를 극솟값이라 한다.

(3) 극댓값과 극솟값을 합쳐 극값이라 한다.

 

극값은 함수가 증가하거나 감소하는 부분이 바뀔 때 발생하는 점입니다.

무조건 도함수가 0이 되는 점이 극값은 아닙니다!

주의해주시기 바랍니다!

 

연습문제

(1) \(y=x^3+3x^2+3\)의 극값을 구하여라.

(2) 도함수가 0이 되는 점이 극값이 아닌 경우를 구하여라.

 

 

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