[수학Ⅰ]8.상용로그

반응형

『저 별은 지구에서 얼만큼 떨어져 있을까?』

오늘은 로그의 마지막 시간입니다!

바로 상용로그에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

상용이라는 말은 상시 이용 즉 자주 사용한다는 뜻인데요.

로그를 자주 사용한다? 왜 자주 사용한다는 걸까요?

 

 

우리는 로그를 배울 때 밑과 진수에 대해서 배웠습니다.

밑이 계속 변하면 당연히 로그값도 변하므로 사용하기가 어렵겠죠?

 

 

그래서 우리가사용하는 십진법에 맞춰밑이 10인 로그롤 통일했어요!  

이 로그를 상용로그라 해요.

 

 

상용로그 값만 알면 어떠한 로그값이든지 밑의 변환공식을 이용해서 구할 수 있겠죠?

그리고 상용로그의 활용으로 큰 수를 유추할 때 자주 사용돼요!

 

 

오늘의 타이틀처럼 지구와 별 사이의 거리와 같은 천문학적인 계산에 자주 사용되죠.

자 그럼 구체적으로 상용로그의 정의가 무엇인지 한 번 알아보도록 하겠습니다.

---

본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

과학고 수학 내신 1등 후기 보러가기

 

서울대 합격 후기 보러가기

 

---

---

• 상용로그
• 정수부분과 \(n\)자리의 수
• 최고자리 숫자
• 연습문제

---

이번 포스트에서는 상용로그의 정의 그리고 상용로그의 활용에 대해 알아보도록 하겠습니다!

 

상용로그

 밑이 10인 로그를 상용로그라하며  \(\log_{10}M\) 또는 \(\log M\)이라 쓴다.

 

 상용로그 말대로 자주 쓰니깐 밑을 생략해서 간단히 나타내기도 해요!

상용로그는 따로 구해진 표가 있어요.

그 표를 상용로그표라 하는데

상용로그표만 알면 지금까지 배운 로그의 성질들을 이용하여 모든 로그의 값들을 구할 수 있습니다.

예를 들어 \(\log_23\)을 구하고 싶으면 밑의 변환공식으로부터 \(\log 2\)와 \(\log 3\)을 알면 구할 수 있죠.

자 그러면 상용로그의 활용에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

정수부분과 \(n\)자리의 수

 100원이 있다고 합시다.

하루가 지나면 두 배가 늘어난다고 하면 다음 날 200원 그 다음 날 400원이 되겠죠?

그러면 30일이 지나면 얼마가 될까요?

이렇게 큰 수를 유추하는데 상용로그가 활용됩니다.

다음과 같은 활용이 있습니다.

  정수부분과 \(n\)자리의 수 양의 실수 \(N\)을 정수부분이 \(n\)자리인 수라 하면 다음을 알 수 있다.

 

(1) \(10^{n-1}\leq N <10^n\)

(2) \(n-1\leq \log N <n\)다.

 

위의 식에서 \(\log N\)의 값만 구하면 n을 알 수 있겠죠?

그러면 양의 실수 \(N\)의 자릿수를 알 수 있습니다!

 

최고자리숫자

 위에서 자릿수를 구했는데요.

상용로그의 활용은 이것 뿐만 아니라 최고자리숫자도 구할 수 있어요!

 최고자리숫자

양의 실수 \(N\)을 정수부분이 \(n\)자리고 최고자리의 숫자가  \(m\)인 수라 하면 다음을 알 수 있다.

 

(1) \(m\cdot10^{n-1}\leq N<(m+1)\cdot10^{n-1}\)

(2) \(\log m\leq\log N-(n-1)<\log (m+1)\)

(3) \(\log m\leq\log N\)의 소수부분\(<\log (m+1)\)

 

(3)에서 소수부분이라 하는 이유는 정수부분과 \(n\)자리의 수 (3)의 성질로 알 수 있어요!

지금까지는 어떤 수의 정수부분의 최고자리 숫자를 구했는데

이 수에 \(10^{-n}\) (여기서 \(n\)은 자릿수)를 곱하면 소수가 되겠죠?

이와 같은 방식으로 우리는 다음과 같은 성질도 알 수 있어요!

 

 소수 \(n\)번째 자리에 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 수

 

양의 실수 \(N\)을 \(n\)번째 자리에 처음으로 0이 아닌 숫자가 나오는 수라 하면 다음이 성립한다.

(1) \(10^{-n}\leq N<10^{-n+1}\)

(2) \(-n\leq\log N<-n+1\)

 

마찬가지로 다음 성질도 알 수 있습니다!

 

소수 \(n\)번째 자리에 처음으로 0이 아닌 숫자 \(m\)이 나타나는 수

 

양의 실수 \(N\)을 \(n\)번째 자리에 0이 아닌 숫자 \(m\)이 나타나는 수라 하면 다음을 알 수 있다.

(1) \(m\cdot10^{-n}\leq N<(m+1)\cdot10^{-n}\)

(2) \(\log m\leq\log N+n<log(m+1)\)

(3) \(\log m\leq\log N\)의 소수부분\(<\log (m+1)\)

 

연습문제

(1) 최고자리숫자 성질에서 (1)에서 (2)가 성립하는 이유를 말해라.

(2) \(2^{100}\)의 자리수와 최고자리숫자를 구하여라. (단 \(\log 2=0.3010\)이라 하자.)

(3) \(2^{-100}\)는 소수 몇 번쨰 자리에 처음으로 0이 아닌 수가 나오며 그 수는 무엇인지 구하여라. (단 \(\log 2=0.3010\)이라 하자.)

 

최상위권 학생들을 위한 본고사 문제 제작소

본수학 네이버 카페 cafe.naver.com/bornmath

본수학 네이버 블로그 blog.naver.com/flytome91

본수학 유튜브 https://www.youtube.com/@born_math

본수학 문제집 주문하러 가기 https://naver.me/5Luk3pbL

본수학 동영상 강의 보러 가기 https://bornmath.liveklass.com/