[수학Ⅰ]5.밑의 변환공식

반응형

『밑을 바꿔보자!』
 
 로그의 정의와 성질에 대해 지난번 포스트에 대해 다뤘습니다!
그러면 조금 더 로그에 중요한 성질을 배워보도록 하겠습니다.
바로바로 밑의 변환공식입니다.

---

본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

과학고 수학 내신 1등 후기 보러가기

 

서울대 합격 후기 보러가기

 

---

---

• 밑의 변환공식
• 로그의 밑 또는 진수변형
• 연습문제

---

이번 밑의 변환공식을 이전 로그의 성질에서 따로 뗴어내어
포스트를 작성하는 것은 그만큼 중요하다는 뜻입니다!
그럼 어떤 공식인지 한 번 보도록 하겠습니다.

 

밑의 변환공식

 밑을 바꿀 수 있다는 것은 되게 중요합니다.
추후에 다시 배우겠지만 밑이 10인 상용로그와
자연상수 e를 밑으로 하는 자연로그로 바꿀 수 있기 때문이죠!
밑의 변환공식은 다음과 같아요!
 
 밑의 변환공식
 
\(0<a<1\) 또는  \(1<a\)이고  \(0<b<1\)또는 \(1<b\)이며 \(M>0\)일 때 다음과 같이 밑을 \(a\)에서 \(b\)로 변환할 수 있다.
 
$$\log_aM=\frac{\log_bM}{\log_ba}$$
 
위의 식으로부터 다음을 알 수 있다.
 
\(0<a<1\)또는 \(1<a\)이고 \(0<b<1\)또는 \(1<b\)라 할 때 다음을 알 수 있다.
 
$$\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$$
 
증명은 어렵지 않습니다.
\(\log_bM=x\), \(\log_ba=y\)라 하면 정의에 의해서 다음을 알 수 있습니다.
$$b^x=M, b^y=a$$ \(b^y=a\)의 양변에 \(\frac{x}{y}\)제곱을 하면 \(b^x=a^\frac{x}{y}\)
즉 \(M=a^\frac{x}{y}\)임을 알 수 있습니다.
로그의 정의에 의해서 주어진 식이 유도되는 것을 알 수 있죠.
두 번째 식은 \(b=M\)이라 하면 쉽게 구할 수 있습니다!

로그의 밑 또는 진수의 변형

 위의 공식은 밑을 변환하는 공식이였습니다.
다음 공식은 밑 또는 진수에 거듭제곱이 있는 형태일 때 어떻게 변형되는지 보도록 하겠습니다!

 로그의 밑 또는 진수의 변형

 
\(0<a<1\)또는 \(1<a\), \(M>0\), \(p\)를 실수라 할 때 다음을 알 수 있다.
 
(1) \(\log_aM^p=p\log_aM\)
(2) \(\log_{a^p}M=\frac{1}{p}\log_aM\)
(3) \(\log_{a^p}M^p=\frac{1}{p}\log_aM\)
 
당연히 위의 공식에 증명도 로그의 정의를 이용하면 어렵지 않아요!
(1) \(\log_aM=x\)라 할게요.
그러면 정의에 의해서 \(a^x=M\)이 되고 양변에 p제곱을 하면 \(a^xp=M^p\)가 되는 것을 알 수 있어요.
로그의 정의에 의해서 이 식은 주어진 식을 만족해요.
자 (2)와 (3)도 (1)과 같은 방식으로 정의를 이용해서 증명할 수 있겠죠?

연습문제

(1) 다른 방법으로, (2)를 증명할 때 바로 위에서 배운 밑의 변환공식과 (1)를, (3)를 증명할 때 밑의 변환공식과 (2)를 사용해서 증명하여라.

최상위권 학생들을 위한 본고사 문제 제작소

본수학 네이버 카페 cafe.naver.com/bornmath
본수학 네이버 블로그 blog.naver.com/flytome91
본수학 유튜브 https://www.youtube.com/@born_math
본수학 문제집 주문하러 가기 https://naver.me/5Luk3pbL
본수학 동영상 강의 보러 가기 https://bornmath.liveklass.com/