[수학Ⅰ]7.로그함수

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『천천히 하지만 꾸준히 무한대로 가는 로그함수!』

 

지난시간에 배운 지수함수에 이어 오늘은 로그함수에 대해 알아보겠습니다.

타이틀을 보시면 천천히 하지만 꾸준히 라는 문구가 보이네요!

지수와 로그와의 관계를 보시면 이 타이틀을 바로 이해하실 수 있으실 겁니다.

우선 지수함수 \(y=2^x\)는 x가 조금만 증가해도 y의 값은 폭발적으로 증가하는 것을 알 수 있죠.

그럼 반대로 y의 값이 증가하면 x는 어떻게 될까요?

우선 증가는 하겠지만 y의 값이 증가하는 속도보다 훨씬 느리겠죠?

이것이 바로 오늘 타이틀의 이유입니다.

 

 

 

 

굳이 이 타이틀로 정한 이유는 지수함수처럼 폭발적으로 증가하는 형태도 있지만

로그함수처럼 천천히 하지만 꾸준히 증가하는 형태도 있습니다.

예를 들면 바로 감염 속도입니다.

코로나 19로 전 세계가 힘들었던 적이 있는데요.

이러한 감염병 모델에서 감염되는 속도가 로그함수라 보시면 됩니다.

처음에는 갑자기 감염되는 사람들이 많다가

점점 감염되는 사람들이 줄어들지만 아직도 여전히 감염된 사람들이 나오고 있는 형태입니다.

만약 감염병이 지수함수와 같다고 하면 금방 코로나에 걸려버리겠죠?

하지만 로그함수의 형태를 띄면 천천히 꾸준히 증가하지만 속도가 작아 치료가 되고 완치가 되는 사람도 나옵니다.

자 그럼 구체적으로 로그함수의 정의가 무엇인지 한 번 알아보도록 하겠습니다.

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• 로그함수
• 로그함수의 그래프
• 로그방정식과 로그부등식
• 연습문제

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이번 시간에는 로그함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

로그함수의 정의는 무엇인지 배우고 함수를 배우면 그래프로 나타낼 수 있어야겠죠?

로그함수의 그래프는 어떠한 형태인지

그리고 로그함수에서 로그방정식과 로그부등식으로의 응용까지 알아보도록 하겠습니다.

 

로그함수

 지금까지 로그에 대해 배웠습니다.

로그형태의 함수는 어떠한 형태의 함수인지 알아보도록 하겠습니다.

 

 로그함수

\(a\)는 \(0<a<1\), \(1<a\)를 만족하는 실수라 하자. \(y=\log_ax\)로 나타내는 함수를 \(a\)를 밑으로 하는 \(x\)의 로그함수라 한다.

 

 위의 정의서 앞서 배운대로 \(a\)의 범위를 1을 제외한 양수인 실수로 정의했네요!

로그의 정의에 따라 당연히 당연히 \(a\)가 음수이면 정의가 불가능하고 1이면 의미가 없겠죠?

그리고 정의역\(x\)는 지수함수와 달리 양수인 실수입니다.

이처럼 로그의 진수에 변수 \(x\)가 들어있는 함수를 로그함수라 합니다.

그럼 누군가는 이렇게 질문할 수도 있습니다.

 

로그의 밑에 변수 \(x\)가 들어있는 함수는요?

 

좋은 질문입니다.

밑의 조건을 만족하는 \(x\)에 대해 \(\log_x10\)과 같은 것도 지수함수라 부를 수 있을까요?

우리는 지난 시간에 배운 밑의 변환 공식을 사용해서 위의 로그는

\(\frac{1}{\log_{10}x}\) 다음과 같이 변형이 가능하죠!

따라서 엄연한 로그함수가 됩니다!

 

로그함수의 그래프

 자 그럼 로그함수에 대해서 정의를 했으니 로그함수의 그래프를 봐야겠죠?

로그함수의 그래프는 다음과 같이 나뉘어집니다.

 

 로그함수의 그래프

좌표평면에 \(y=\log_ax\)의 그래프는 다음과 같다.  

(1) 점 (1, 0)를 항상지난다.

(2) 점근선은 \(x=0\)이다.

(3) 정의역은 \(x>0\)이고 치역은 실수전체다.

(4) \(a>1\)일 때 \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값도 증가한다.

(5) \(0<a<1\)일 때 \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 감소한다.

 

 로그함수의 그래프는 지수함수처럼 위와 같이 \(a\)의 범위에 따라 두 개로 나뉘어지는데요.

이유는 로그는 지수의 역함수니깐요!

 

로그방정식과 로그부등식

 자 위에서 로그함수의 그래프에 대해 알아봤는데요.

치역\(y\)에 특정한 값이 주어졌을 때 \(x\)를 구하는 로그방정식

그리고 로그함수의 등호가 부등호인 로그부등식으로 확장이 가능합니다.

 로그방정식과 로그부등식

\(0<a<1\), \(1<a\), \(X\), \(Y\)를 실수라 하면 다음이 성립한다.

(1) \(\log_aX=\log_aY\Leftrightarrow X=Y\)

(2) \(a>1\)일 때 \(\log_aX<\log_aY\Leftrightarrow X<Y\)

(3) \(0<a<1\)일 때 \(\log_aX<\log_aY\Leftrightarrow X>Y\)

 

 (1)는 양변에 로그를 취하면 쉽게 등식이 성립하는 것을 알 수 있습니다.

 

연습문제

(1) 로그함수의 그래프의 성질 (1)~(5)를 증명하여라.

(2) 로그방정식과 로그부등식의 성질 (2)~(3)를 증명하여라.

(3) \(y=\log_2x\)와 \(y=(\log_{\frac{1}{2}})x\)는 어떠한 관계인지 구하여라.

(4) 지수함수\(y=2^x\)와 로그함수\(y=\log_2x\)는 어떠한 직선에 관하여 대칭인지 구하여라.

 

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