[수학Ⅰ]6.지수함수

『박테리아가 늘어나는 속도는 지수함수 속도만큼!』

 

여러분 박테리아가 분열하는 법에 대해 알고 계시죠?

1개의 박테리아는 2개로 분열되고 각각의 박테리아는

다시 2개로 분열되고 이 과정을 무한 반복하게 되죠.

그럼 박테리아의 개수는 어떻게 될까요?

 

1개\(\rightarrow\)2개\(\rightarrow\)4개\(\rightarrow\)8개\(\rightarrow\) \(\cdots\)

 

위처럼 늘어나는 박테리아의 개수는 \(2^n\)

단 \(n=0, 1, 2, 3, \cdots\)만큼 늘어나는 것을 알 수 있습니다.

여기서 \(n\)은 0과 자연수로 이루어져있지만

우리는 지수가 유리수, 더 나아가 실수로 확장가능하다는 것을 배웠습니다.

그러면 지수를 \(x\)라 하면 \(2^x\)를 \(y\)로 하는 함수를 그릴 수가 있겠죠?

이것이 바로 지수함수입니다!

즉 지수에 변수가 있는 함수를 지수함수라 합니다.

구체적으로 지수함수의 정의가 무엇인지 한 번 알아보도록 하겠습니다.

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• 지수함수
• 지수함수의 그래프
• 지수방정식과 지수부등식
• 연습문제

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이번 시간에는 지수함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

지수함수의 정의는 무엇인지 배우고 함수를 배우면 그래프로 나타낼 수 있어야겠죠?

지수함수의 그래프는 어떠한 형태인지

그리고 지수함수에서 지수방정식과 지수부등식으로의 응용까지 알아보도록 하겠습니다.

 

지수함수

 지금까지 지수에 대해 배웠습니다.

지수형태의 함수는 어떠한 형태의 함수인지 알아보도록 하겠습니다.

 

지수함수

\(a\)는 \(0<a<1\), \(1<a\)를 만족하는 실수라 하자. \(y=a^x\)로 나타내는 함수를 \(a\)를 밑으로 하는 \(x\)의 지수함수라 한다.

 

 위의 정의서 앞서 배운대로 \(a\)의 범위를 1을 제외한 양수인 실수로 정의했네요!

당연히 \(a\)가 음수이면 정의가 불가능하고 1이면 의미가 없겠죠?

그리고 정의역\(x\)는 지금까지 배워온 것처럼 모든 실수입니다.

이처럼 지수에 변수 \(x\)가 들어있는 함수를 지수함수라 합니다.

지수함수의 그래프

 자 그럼 지수함수에 대해서 정의를 했으니 지수함수의 그래프를 봐야겠죠? 지수함수의 그래프는 다음과 같이 나뉘어집니다.

 

지수함수의 그래프

좌표평면에 \(y=a^x\)의 그래프는 다음과 같다.

(1) 점 (0, 1)를 항상지난다.

(2) 점근선은 \(y=0\)이다.

(3) 정의역은 실수전체고 치역은 \(y>0\)이다.

(4) \(a>1\)일 때 \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값도 증가한다.

(5) \(0<a<1\)일 때 \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 감소한다.

 

 지수함수의 그래프는 위와 같이 \(a\)의 범위에 따라 두 개로 나뉘어지는데요.

박테리아의 예처럼 2를 무한 번 곱해나가면 무한히 커지는 것에 비해

\(\frac{1}{2}\)를 무한 번 곱해나가면 0에 근접하는 것을 알 수 있습니다.

따라서 위와 같은 형태로 그려지는 것을 알 수 있습니다.

지수방정식과 지수부등식

 위에서 지수함수의 그래프에 대해 알아봤는데요.

치역 \(y\)에 특정한 값이 주어졌을 때 \(x\)를 구하는 지수방정식

그리고 지수함수의 등호가 부등호인 지수부등식으로 확장이 가능합니다.

지수방정식과 지수부등식

 \(0<a<1\), \(1<a\), \(X\), \(Y\)를 실수라 하면 다음이 성립한다.

(1) \(a^X=a^Y\Leftrightarrow X=Y\)

(2) \(a>1\)일 때 \(a^X<a^Y\Leftrightarrow X<Y\)

(3) \(0<a<1\)일 때 \(a^X<a^Y\Leftrightarrow X>Y\)

 

(1)는 양변에 로그를 취하면 쉽게 등식이 성립하는 것을 알 수 있습니다.

연습문제

(1) 지수함수의 그래프의 성질 (1)~(5)를 증명하여라.

(2) 지수방정식과 지수부등식의 성질 (2)~(3)를 증명하여라.

(3) \(y=2^x\)와 \(y=(\frac{1}{2})^x\)는 어떠한 관계인지 구하여라.

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