[수학Ⅰ]9.지수와 로그 심화개념

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『지수 로그 심화개념』

 

수험생 여러분 지수 로그 개념공부는 어땠는지요?

이번 포스트는 지수 로그 단원에 조금 심화 개념을 다뤄보려고 합니다!

몰라도 되지만 여러분의 궁금한 점을 조금이나마 해소하기 위해 제작했습니다!

자 그럼 바로 보실까요?

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 지수심화개념
• 로그심화개념
• 연습문제

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지수심화개념

• \(0^0=1\)이라 정의한다.
• \(a>0\)이고 \(s\)를 무리수라 하자. \(s\)를 소수라 나타내고 소수 제 \(n\)번째 까지의 유리수인 수열을 \({x_n}\) \((n=1, 2, 3, \cdots)\)라 하면 \(a^s\)를 다음과 같이 정의하자.$$a^s=a^{\lim_{n \to \infty}x_n}$$ 따라서 지수는 자연수부터 정수, 유리수, 실수로 확장할 수 있다.
• 지수함수에 대해 다음 부등식이 항상 성립한다.$$a^x\geq(\ln a)x+1$$

로그심화개념

• 지수함수가 단조증가 또는 단조감소하는 함수 (엄밀히 말하면 강한 단조 함수)이기 때문에 지수함수는 역함수를 가질 수 있으며 그 역함수가 로그함수다.
• \(a=0\) 또는 \(a=1\)인 경우 \(a^p\)는 일정(상수함수)하다. 따라서 역함수인 로그함수를 정의할 수 없다.
• \(a<0\)인 경우 \(a<p\)가 모든 실수 \(p\)에서 정의될 수 없으므로 역함수인 로그함수를 정의할 수 없다.
• 로그함수는 단조증가함수이지만 기울기가 점점 감소하는 단조증가함수다.
• 밑이 10인 로그를 \(\log\), 밑이 자연상수 \(e\)인 로그를 \(\ln\)이라 사용하지만 대학교 이상의 과정에서 밑이 10인 로그를 \(\log_{10}\), 밑이 자연상수 e인 로그를 \(\log\)라 하기도 한다
• 로그함수 \(y=\log_ax\)에 대해 다음의 부등식이 항상 성립한다.$$\frac{1}{\ln a}x-\frac{1}{\ln a} \geq\log_ax$$

연습문제

(1) 지수심화개념의 마지막 부등식을 증명하여라.

(2) 로그심화개념의 마지막 부등식을 증명하여라.

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