[수학Ⅰ]9.지수와 로그 심화개념

『지수 로그 심화개념』

 

수험생 여러분 지수 로그 개념공부는 어땠는지요?

이번 포스트는 지수 로그 단원에 조금 심화 개념을 다뤄보려고 합니다!

몰라도 되지만 여러분의 궁금한 점을 조금이나마 해소하기 위해 제작했습니다!

자 그럼 바로 보실까요?

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 지수심화개념
• 로그심화개념
• 연습문제

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지수심화개념

• \(0^0=1\)이라 정의한다.
• \(a>0\)이고 \(s\)를 무리수라 하자. \(s\)를 소수라 나타내고 소수 제 \(n\)번째 까지의 유리수인 수열을 \({x_n}\) \((n=1, 2, 3, \cdots)\)라 하면 \(a^s\)를 다음과 같이 정의하자.$$a^s=a^{\lim_{n \to \infty}x_n}$$ 따라서 지수는 자연수부터 정수, 유리수, 실수로 확장할 수 있다.
• 지수함수에 대해 다음 부등식이 항상 성립한다.$$a^x\geq(\ln a)x+1$$

로그심화개념

• 지수함수가 단조증가 또는 단조감소하는 함수 (엄밀히 말하면 강한 단조 함수)이기 때문에 지수함수는 역함수를 가질 수 있으며 그 역함수가 로그함수다.
• \(a=0\) 또는 \(a=1\)인 경우 \(a^p\)는 일정(상수함수)하다. 따라서 역함수인 로그함수를 정의할 수 없다.
• \(a<0\)인 경우 \(a<p\)가 모든 실수 \(p\)에서 정의될 수 없으므로 역함수인 로그함수를 정의할 수 없다.
• 로그함수는 단조증가함수이지만 기울기가 점점 감소하는 단조증가함수다.
• 밑이 10인 로그를 \(\log\), 밑이 자연상수 \(e\)인 로그를 \(\ln\)이라 사용하지만 대학교 이상의 과정에서 밑이 10인 로그를 \(\log_{10}\), 밑이 자연상수 e인 로그를 \(\log\)라 하기도 한다
• 로그함수 \(y=\log_ax\)에 대해 다음의 부등식이 항상 성립한다.$$\frac{1}{\ln a}x-\frac{1}{\ln a} \geq\log_ax$$

연습문제

(1) 지수심화개념의 마지막 부등식을 증명하여라.

(2) 로그심화개념의 마지막 부등식을 증명하여라.

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