[수학Ⅰ]4.로그의 정의와 성질

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『지수의 반대는?』

『크~양변에 로그를 취한다.』

 

지난 번 시간까지 지수에 대해서 배웠습니다.

아직 지수함수에 대해서는 안 배웠습니다만 지수함수는 일대일 함수이기에 역함수,

즉 \(y=x\)에 대한 대칭인 함수를 갖습니다!

오늘 배울 로그라는 것은 지수의 반대라고 생각하시면 돼요!

예를 들어 \(2^3\)는 8인 것을 2의 몇제곱을 해야 8인지 바꿔 생각하는 것입니다.

오늘은 이와 같이 지수를 따로 떼어내여 표기하는 로그에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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• 로그의 정의
• 로그의 성질
• 연습문제

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앞서 살펴 봤듯이 우리는 \(2^3=8\)를 알 수 있습니다.

지수는 되게 중요한데 2의 위에 쓰기에는 뭔가 볼품이 없어보여요.

그래서 우리는 지수를 따로 떼어 쓰는 로그에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

로그의 정의

 로그의 정의

 

 \(a\)를 \(0<a<1\), \(1<a\)를 만족하는 실수라 하자. 임의의 양의 실수 \(M\)에 대해 \(a^p=M\)이 되는 실수 \(p\)가 단 하나 정해진다. 이 \(p\)를 \(a\)를 밑으로 하는 \(M\)의 로그라 하고 \(p=\log_{a}M\)라 나타낸다. \(M\)를 이 로그의 진수라 한다.

 

 정의에서 밑의 범위에 대해 우선 살펴보겠습니다.

밑의 범위는 0이 아닌 양의 실수인데 1을 제외합니다.

음수가 되지 않는 것은 다들 아시죠?

밑이 1인 경우는 1의 몇 제곱을 하든 값은 1이 나오기 때문에 정의하지 않습니다.

(정확히 말하면 위의 정의에서 \(1^p=1\)이 되는 실수 \(p\)가 무수히 많기에 잘 정의(well-defined)되지 않습니다.)

참고로 log는 logarithmic의 앞 세글자에서 따왔어요!

로그의 성질

 자 그러면 로그에 대해서 알아봤으니 어떠한 성질이 있나 한 번 봐야겠죠?

다음과 같은 성질이 있습니다.

 

 로그의 성질

 

(1) 밑의 조건은 \(0<a<1\) 또는 \(1<a\)

(2) 진수의 조건은 \(M>0\)

(3) \(\log_aa=1\)

(4) \(\log_a1=0\)

(5) \(\log_a\frac{1}{a}=-1\)

(6) \(\log_a\sqrt[n]{a}=\frac{1}{n}\)

(7) \(a^{\log_aM}=M\)

(8) \(\log_aMN=\log_aM+\log_aN\)

(9) \(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)

(10) \(\log_aM^p=p\log_aM\)

 

 로그의 성질의 증명은 그렇게 어렵지 않아요!

(1)과 (2)는 밑과 진수의 정의로부터 바로 알 수 있고요.

(3)~(7)은 모두 로그의 정의와 지수가 유리수일 때를 확인하시면 금방 알 수 있어요!

예를 들어 (7)은 \(\log_aM\)를 \(x\)라 하면 정의에 의해서 \(a^x=M\)이므로 쉽게 알 수 있어요!

(8)은 \(\log_aM\)를 \(x\), \(\log_aN\)를 \(y\)라 하면 정의에 의해서 \(a^x=M\), \(a^y=N\)임을 알 수 있죠.

두 등식을 서로 곱하면 지수의 법칙으로부터 \(a^{x+y}=MN\)이 되고 로그의 정의로부터 주어진 식을 알 수 있어요.

(9)는 (8)의 \(N\)에 \(\frac{1}{N}\)를 대입하고 (5)로부터 금방 알 수 있어요!

연습문제

(1) 로그의 성질 중 (10)를 증명하여라.

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