[수학Ⅰ]3.지수가 유리수인 경우

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『2를 \(\frac{3}{2}\)번 곱하면?』

 

지난 글 타이틀과 동일한 것 같은데 뭔가 살짝 다릅니다.

지난번은 \(\frac{1}{2}\)였는데 분자가 3이 되었어요!

근데 유리수의 정의를 보면 유리수는 \(\frac{p}{q}\) 단 p와 q는 서로소인 정수이며 \(q\neq0\)기 때문에

위의 값도 정의가 되어야 지수를 유리수까지 확장시켰다고 볼 수가 있죠.

우리는 지수가 분모가 1이 아닌 유리수인 경우도 지수의 성질을 이용하여 쉽게 알 수가 있습니다!

part1의 내용과 part2의 내용을 공부하신 여러분들은 벌써 어떻게 정의하면 좋을지 알고 있으리라 생각됩니다.

우선 이번 part에서 배워볼 부분에 대하여 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 지수가 유리수인 경우
• 지수가 유리수인 지수법칙
• 연습문제

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part3를 마지막으로 우리는 지수를 유리수로 확장하는 것을 마무리 짓겠습니다.

그러면 더 나아가 지수가 실수인 경우 더 나아가 복소수인 경우도 정의할 수 있겠죠?

(자연스럽게 궁금증이 생기신 분은 수학과를 추천!)

자 그럼 지수가 유리수인 경우의 정의를 한 번 보도록 하겠습니다!

 

지수가 유리수인 경우

\(a>0\)이고 \(m, n\)을 양의 정수, \(r\)이 양의 유리수라 할 때 다음을 정의한다.

 

(1) \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

(2)\(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\)

 

 (1)과 (2)의 정의는 앞서 말했듯이 지수가 정수일 때의 특징이 유리수일 때

적용가능하다고 생각하시면 쉽게 예상하리라 생각됩니다!

 

$$a^{\frac{m}{n}}=(a^\frac{1}{n})^m=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

 

마찬가지로 (2)는 다음이 성립해야 하기 떄문에 위와 같이 정의가 되는 것을 알 수 있겠습니다!

 

$$a^r\times a^{-r}=a^{r+(-r)}=a^0=1$$

 

지수가 유리수인 지수법칙

 자 그럼 지수가 유리수인 경우에 대해서 정의를 했으니 어떠한 성질이 있는지 봐야겠죠?

다음과 같은 성질이 있습니다.

\(a>0\), \(b>0\)이고 \(p\), \(q\)는 유리수일 때 다음이 성립한다.

 

(1) \(a^pa^q=a^{p+q}\)

(2) \(a^p\div a^q=\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)

(3) \((a^p)^q=a^{pq}=(a^q)^p\)

(4) \((ab)^p=a^pb^p\)

(5) \((\frac{a}{b})^p=\frac{a^p}{b^p}\)

 

 (1) 유리수의 정의에 의해서 p와 q를 \(\frac{n_1}{m_1}\), \(\frac{n_2}{m_2}\)라 놓을 수 있습니다.

단 \(n_1\)과 \(m_1\)는 서로소인 정수이며 \(m_1\)는 0이 아닙니다.

마찬가지로 \(n_2\)과 \(m_2\)도 서로소인 정수이며 \(m_2\)는 0이 아닙니다.

그러면 정의에 의해서 \(a^p\)과 \(a^q\)는 \(\sqrt[m_1]{a^{n_1}}\)와 \(\sqrt[m_2]{a^{n_2}}\)인 것을 알 수 있습니다만

지난번 시간에 배운 제곱근의 성질을 이용하면 \(\sqrt[m_1m_2]{a^{n_1m_2}}\)와 \(\sqrt[m_1m_2]{a^{n_2m_1}}\)이라 쓸 수 있겠죠?

자 그러면 \(a^p\)\(a^q\)는 제곱근의 성질로부터  \(\sqrt[m_1m_2]{a^{n_1m_2}a^{n_2m_1}}\) 즉 \(\sqrt[m_1m_2]{a^{n_1m_2+n_2m_1}}\)이며 이것은 정의로부터 (1)의 우변이 되는 것을 알 수 있습니다!

연습문제

 (1) 유리수가 지수인 지수법칙 (2)~(5)를 증명하여라.

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