[수학Ⅰ]2.제곱근의 정의와 성질

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『2를 \(\frac{1}{2}\)번 곱하면?』

 

지난 글 타이틀과 동일합니다!

우리는 지수가 양의 정수일 때 여러가지 특징을 배웠는데요.

오늘은 지수를 유리수까지 확장시켜 보도록 하겠습니다.

단순 확장이기 때문에 지수가 유리수일 때의 특징도 지수가 양의 정수일 때와 다름이 없어야겠죠?

즉 다음이 성립해야 할 것입니다.

$$2^{\frac{1}{2}}\times2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=2^{1}=2$$

즉 어떤 수를 두 번 곱해서 2가 되는 수를 우리는 \(2^{\frac{1}{2}}\)라 생각할 수 있습니다.

마찬가지로 어떤 수를 세 번 곱해서 2가 되는 수도 있겠죠?

오늘은 이처럼 어떠한 수를 여러번 곱해 특정한 수가 될 때 어떻게 표기하는지에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 제곱근이란 무엇인가?
• 제곱근의 기본성질
• 제곱근의 성질
• 연습문제

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제곱이라는 말은 지수시간에 배워서 다들 알고 있으리라 생각됩니다.

어떠한 수를 두 번 곱한거죠. 그리고 근이라는 말도 알고 있습니다.

근(根)은 한자로 뿌리라는 뜻인데 뿌리는 중요하고 시작을 뜻하죠.

서양에서도 root(뿌리)가 사용되는데 (\(\sqrt{}\)하고는 달라요!) 이걸 번역한게 근이죠.

그래서 제곱근은 어떤 수가 되기 위해 두 번 곱해지는 근본의 수(뿌리)라고 보시면 좋으실 것 같아요!

자 그러면 정확한 수학적 정의를 한 번 보도록 하겠습니다.

 

제곱근이란 무엇인가?

 제곱근 \(n\)을 양의 정수라 하자. \(n\)제곱해서 \(a\)가 되는 수, 즉  \(x^n=a\)가 되는 수 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라 한다. \(a>0\)일 때 \(a\)의 \(n\)제곱근이며 양수인 것은 단 하나 존재하며 \(\sqrt[n]{a}\)라 나타낸다. \(\sqrt[2]{a}\)는 \(\sqrt{a}\)라 하며 2를 생략한다. 0의 \(n\)제곱근은 0이다.

 

1. \(n\)이 짝수인 경우

 \(a>0\)일 때 \(a\)의 \(n\)제곱근은 양수와 음수 2개가 있고 각각 \(\sqrt[n]{a}\), \(-\sqrt[n]{a}\)로 나타낸다. \(a<0\)일 때 실수의 범위에 \(a\)의 \(n\)제곱근은 존재하지 않는다.

 

2. \(n\)이 홀수인 경우

 \(a\)의 \(n\)제곱근은 단 하나 존재하며 \(\sqrt[n]{a}\)로 나타낸다. \(a<0\)일 때 \(\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{a}\) 로 나타낼 수 있다.

 

위의 정의서 \(n\)이 짝수일 때와 홀수일 때를 나눴어요!

고등교과과정에서는 제곱해서 음수가 되는 수(허수)를 다루지 않지만 대학교 과정에서는 수학의 한 분야로 인정될 정도로 중요해요. 나중에 기회가 되면 한 번 다루도록 하겠습니다!

제곱근의 기본성질

 자 그럼 제곱근에 대해서 정의를 했으니 어떠한 성질이 있는지 봐야겠죠?

우선 제곱곤은 다음과 같은 기본성질이 있습니다.

 

제곱근의 기본성질 \(a>0\), \(n\)를 양의 정수라 할 때 다음이 성립한다.

(1) \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

(2) \(\sqrt[n]{a}>0\)

(3) \((\sqrt[n]{a})^n=a\)

(4) \((\sqrt[n]{a^n})=a\)

 

 

(1)는 인트로에서 소개했듯 지수가 유리수일 때는 위와 같이 제곱근이 되는 것을 뜻합니다.

(2)는 양수의 \(n\)제곱근들은 \(n\)이 홀수이든 짝수이든 상관없이 모두 양수인 것을 뜻합니다.

(3)는 정의로부터 \(n\)제곱근의 \(n\)제곱은 원래의 수가 되는 것을 뜻합니다.

(4)는 \(n\)제곱의 \(n\)제곱근은 원래의 수가 되는 것을 뜻합니다. 주의할 점은 \(a\)가 양수라는 점입니다!

 

만약에 \(a\)가 음수이면 위의 성질 중 어떠한 성질이 만족하지 않을까요?

제곱근의 성질

 위에서 기본적인 제곱근의 기본성질을 알아봤습니다.

기본성질들은 정의를 이용하면 손쉽게 증명할 수 있습니다.

조금 더 생각하면 제곱근에 대해 다음과 같은 성질을 생각할 수 있습니다.

제곱근의 성질 \(a>0\), \(b>0\), \(m\), \(n\), \(p\)를 양의 정수라 할 때 다음이 성립한다.

(1) \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)

(2) \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

(3) \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)

(4) \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)

(5) \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)

 

(1)과 (2)는 \(\sqrt[n]{a}\)과 \(\sqrt[n]{b}\)를 각각 \(x\), \(y\)라 놓습니다.

정의에 의해서 \(x^n=a\), \(y^n=b\)인 것을 알 수 있습니다.

따라서 두 식을 곱하면 \(x^ny^n=ab\)가 성립한는 것을 알 수 있죠.

지난 시간에 배운 지수법칙을 통해 좌변은 \((xy)^n\)이 되는 것을 알 수 있습니다.

그러면 다시 제곱근의 성질에 대해서  \(xy=\sqrt[n]{ab}\), 즉 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)이므로 증명할 수 있습니다. (2)도 마찬가지겠죠!

연습문제

(1) 제곱근의 기본성질중 \(a\)가 음수일 때 주어진 성질을 만족하는지 구하여라. 만족하지 않는다면 어떠한 조건에 만족하는지 구하여라.

(2) 제곱근의 성질 (3)~(5)를 증명하여라.

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