[수학Ⅰ]1.지수의 정의와 지수법칙

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『2를 \(\frac{1}{2}\)번 곱하면?』

 

2를 두 번 곱하면 2의 제곱이라고 배웠습니다.

즉 다음과 같이 나타낼 수 있죠

$$2\times2=2^2$$

그리고 우리는 2를 100번 곱하면 다음과 같이 표기하는 것을 알 수 있습니다.

$$\overbrace{2\times2\cdots \times2}^{\rm 100개}=2^{100}$$

당연히 100보다 더 큰 수를 반복해서 2를 곱할 수 있습니다.

그리고 일반적으로 다음과 같은 형태로 표기할 수 있죠.

$$\overbrace{2\times2\cdots \times2}^{\rm n개}=2^{n}$$

여기까지는 참 쉽죠?

참 여기서 n은 우리가 한 개, 두 개, 세 개 셀 수 있는 자연수 \(\mathbb{N}\) 예요!

하지만 자연수가아닌 유리수, 실수로 수를 넓혀나가면 어떻게 될까요?

차근차근 알아가보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 지수란 무엇인가?
• 지수의 여러가지 성질
• 연습문제

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수학에서 쓰이는 지수란 보통 두 개의 의미를 갖고 있는데요.

첫째로 통계에서 사용되는 의미로 시간이 지날수록 바뀌는 수학적 수치를 지수라고 합니다.

두번째는 우리가 오늘 배울 내용입니다.

벌써 위에서 언급된 2를 2번 또는 100번 곱할 때 몇 번곱해지는지 이 수치를 지수라 부릅니다!

그럼 구체적으로 지수의 수학적 정의는 무엇인지 그리고어떠한 성질이 있는지 한 번 보도록 하겠습니다!

 

지수란 무엇인가?

제곱과 지수

\(a^n\)에서 \(a\)를 밑, \(n\)을 지수라 한다. 지수가 0일 때 \(a^0=1\)이라 정의한다.

 

여기서 \(a\) 즉 밑은 0이 아닌 실수라 합시다.

고등과정에는 실수까지 다루지만 복소수로 확장가능합니다.

그리고 \(n\)은 지금까지 자연수까지였지만 위에 정의에 의해서 0까지 확장을 했습니다.

(\(a^0=1\)이라 정의한 이유는 뒤에 나오는 지수법칙에 의해서 그 이유를 알 수 있어요!)

즉 우리는 지수가 음이 아닌 정수까지 정의했습니다!  

지수의 여러가지 성질

자 그럼 지수에 대해서 정의를 했으니 어떠한 성질이 있는지 봐야겠죠?

지수는 다음과 같은 성질이 있습니다.

지수법칙

 

(1) \(a^ma^n=a^{m+n}\)

(2) \(a^m\div a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

(3) \((a^m)^n=a^{mn}=(a^n)^m\)

(4) \((ab)^n=a^nb^n\)

(5) \((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)

 

위의 성질들을 증명하는 것은 그렇게 어렵지 않으리라 생각됩니다!

연습문제

(1) 지수의 여러가지 성질 중 (1)~(5)를 증명하여라.

 

 

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