[수학Ⅰ]20.다양한 점화식

『다양한 종류의 점화식들』

 

등차수열과 등비수열의 점화식은 간단한 점화식에 속합니다.

점화식을 풀 때 진짜 어려운 점화식은 대학과정에서도 어렵다고 할 정도의 점화식이 있죠.

 

하지만 고등교육과정에서는 그 정도까지는 아니지만 다양한 점화식의 해법을 배웁니다.

오늘은 그 중에 몇 개를 소개하려 합니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 점화식$a_{n+1}=a_n+q$
• 점화식$a_{n+1}=p{a}_n+$($n$의 1차식)
• 점화식$a_{n+1}=f(n)a_n$
• 연습문제

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점화식은 항과 항사이의 관계를 나타낸 식이다.

 

점화식$a_{n+1}=p{a}_n+q$

 수열$\{a_n\}$의 점화식 $a_1=a,a_{n+1}=p{a}_n+q$ ($p,q$는 $n$에 의존하지 않는 실수)에 대해 다음을 알 수 있다.

 

(1) $p=1$일 때

 

$a_1=a,a_{n+1}=a_n+q$수열 $\{a_n\}$은 첫 번째 항 $a$, 공차 $q$인 등차수열이므로 다음을 알 수 있다.

 

$a_n=a+(n-1)q$

 

(2) $p\ne 1$일 때

 

$a_{n+1}=p{a}_n+q$

$\alpha =p\alpha +q$

 

위의 식을 빼면 다음과 같다.

 

$a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$

 

$\alpha =\frac{q}{1-p}$이고 수열 $\{a_n-\alpha \}$는 첫 번째 항 $a_1-\alpha$, 공비 $p$인 등비수열이므로 다음을 알 수 있다.

 

$a_n-\alpha =(a_1-\alpha )p^{n-1}$

 

따라서 다음을 알 수 있다.

 

$a_n=(a_1-\alpha )p^{n-1}+\alpha$

 

점화식 $a_{n+1}=p{a}_n+$($n$의 1차식)

 수열$\{a_n\}$의 점화식 $a_1=a,a_{n+1}=p{a}_n+qn+r$ ($p,q,r$는 $n$에 의존하지 않는 실수, $q\ne 0$)에 대해 다음을 알 수 있다.

 

(1) $p=1$일 때

 

$a_1=a,a_{n+1}-a_n=qn+r$

수열 $\{a_n\}$의 등차수열이 $\{qn+r\}$이므로 $n\ge 2$일 때$a_n=a+\sum _{k=1}^{n-1}(qk+r)$

 

(2) $p\ne 1$일 때

 

$a_{n+1}=p{a}_n+qn+r$

$g(n+1)=pg(n)+qn+r$

 

위의 식을 빼면 다음과 같다.

 

$a_{n+1}-g(n+1)=p\{a_n-g(n)\}$

 

수열 $\{a_n-g(n)\}$는 첫 번째 항 $a_1-g(1)$, 공비 $p$인 등비수열이므로 다음을 알 수 있다.

 

$a_n-g(n)=\{a_1-g(1)\}\cdot p^{n-1}$

 

따라서 다음을 알 수 있다.

 

$a_n=\{a_1-g(1)\}\cdot p^{n-1}+g(n)$

 

(3) $a_{n+1}=p{a}_n+q_n+r$

 

위의 식의 $n$에 $n+1$을 대입하면 다음을 알 수 있다.

 

$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q(n+1)+r$

 

위의 두 식을 빼면 다음을 알 수 있다.

 

$a_{n+2}-a_{n+1}=p(a_{n+1}-a_n+q)$

 

$a_{n+1}-a_n=b_n$이라 하면 $b_{n+1}=p{b}_n+q$이다. 이 점화식을 풀어 수열$\{b_n\}$의 일반항을 구하면 수열$\{a_n\}$의 일반항을 구할 수 있다.

 

점화식 $a_{n+1}=f(n)a_n$

 수열$\{a_n\}$의 점화식 $a_1=a,a_{n+1}=f(n)a_n$에 대해 다음을 알 수 있다.

 

(1) $n\ge 2$일 때

 

$a_n=f(n-1)f(n-2)\cdots f(1)a_1$

 

(2) 양변을 $(n+1)!$로 나누면 다음과 같다.

 

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{f(n)}{n+1}\cdot \frac{a_n}{n!}$ $\{\frac{a_n}{n!}\}$에 대해 점화식을 생각한다.

 

(3) 임의의 자연수 $n$에 대해 $a_n>0,f(n)>0$이면 밑이 $c$인 대수를 취하면 다음과 같다.

 

${\log }_c{a}_{n+1}={\log }_{c}f(n)+{\log }_c{a}_n$ ${\log }_c{a}_n=b_n$이라 하면 $b_1={\log }_{c}a,b_{n+1}=b_n+{\log }_{c}f(n)$ 수열 $\{b_n\}$의 계차수열이 $\{{\log }_{c}f(n)\}$이다. 수열$\{b_n\}$의 일반항을 구하면 수열$\{a_n\}$의 일반항을 구할 수 있다.

 

연습문제

(1) 두번째 점화식에서 1차식이 아닌 2차식 이상에 대해서도 점화식을 풀 수 있는지 답하여라.

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