[수학Ⅰ]20.다양한 점화식

『다양한 종류의 점화식들』

 

등차수열과 등비수열의 점화식은 간단한 점화식에 속합니다.

점화식을 풀 때 진짜 어려운 점화식은 대학과정에서도 어렵다고 할 정도의 점화식이 있죠.

 

하지만 고등교육과정에서는 그 정도까지는 아니지만 다양한 점화식의 해법을 배웁니다.

오늘은 그 중에 몇 개를 소개하려 합니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 점화식\(a_{n+1}=a_{n}+q\)
• 점화식\(a_{n+1}=pa_{n}+\)(\(n\)의 1차식)
• 점화식\(a_{n+1}=f(n)a_{n}\)
• 연습문제

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점화식은 항과 항사이의 관계를 나타낸 식이다.

 

점화식\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)

 수열\(\{a_n\}\)의 점화식 \(a_1=a, a_{n+1}=pa_{n}+q\) (\(p,q\)는 \(n\)에 의존하지 않는 실수)에 대해 다음을 알 수 있다.

 

(1) \(p=1\)일 때

 

\(a_1=a, a_{n+1}=a_n+q\)수열 \(\{a_n\}\)은 첫 번째 항 \(a\), 공차 \(q\)인 등차수열이므로 다음을 알 수 있다.

 

\(a_n=a+(n-1)q\)

 

(2) \(p\neq 1\)일 때

 

\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)

\(\alpha=p\alpha+q\)

 

위의 식을 빼면 다음과 같다.

 

\(a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\)

 

\(\alpha=\frac{q}{1-p}\)이고 수열 \(\{a_n-\alpha\}\)는 첫 번째 항 \(a_1-\alpha\), 공비 \(p\)인 등비수열이므로 다음을 알 수 있다.

 

\(a_n-\alpha=(a_1-\alpha)p^{n-1}\)

 

따라서 다음을 알 수 있다.

 

\(a_n=(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha\)

 

점화식 \(a_{n+1}=pa_{n}+\)(\(n\)의 1차식)

 수열\(\{a_n\}\)의 점화식 \(a_1=a, a_{n+1}=pa_{n}+qn+r\) (\( p, q, r\)는 \(n\)에 의존하지 않는 실수, \(q\neq0\))에 대해 다음을 알 수 있다.

 

(1) \(p=1\)일 때

 

\(a_1=a, a_{n+1}-a_n=qn+r\)

수열 \(\{a_n\}\)의 등차수열이 \(\{qn+r\}\)이므로 \(n\geq2\)일 때\(a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}(qk+r)\)

 

(2) \(p\neq 1\)일 때

 

\(a_{n+1}=pa_{n}+qn+r\)

\(g(n+1)=pg(n)+qn+r\)

 

위의 식을 빼면 다음과 같다.

 

\(a_{n+1}-g(n+1)=p\{a_n-g(n)\}\)

 

수열 \(\{a_n-g(n)\}\)는 첫 번째 항 \(a_1-g(1)\), 공비 \(p\)인 등비수열이므로 다음을 알 수 있다.

 

\(a_n-g(n)=\{a_1-g(1)\}\cdot p^{n-1}\)

 

따라서 다음을 알 수 있다.

 

\(a_n=\{a_1-g(1)\}\cdot p^{n-1}+g(n)\)

 

(3) \(a_{n+1}=pa_{n}+q_{n}+r\)

 

위의 식의 \(n\)에 \(n+1\)을 대입하면 다음을 알 수 있다.

 

\(a_{n+2}=pa_{n+1}+q(n+1)+r\)

 

위의 두 식을 빼면 다음을 알 수 있다.

 

\(a_{n+2}-a_{n+1}=p(a_{n+1}-a_{n}+q)\)

 

\(a_{n+1}-a_{n}=b_{n}\)이라 하면 \(b_{n+1}=pb_{n}+q\)이다. 이 점화식을 풀어 수열\(\{b_n\}\)의 일반항을 구하면 수열\(\{a_n\}\)의 일반항을 구할 수 있다.

 

점화식 \(a_{n+1}=f(n)a_n\)

 수열\(\{a_n\}\)의 점화식 \(a_1=a, a_{n+1}=f(n)a_{n}\)에 대해 다음을 알 수 있다.

 

(1) \(n\geq2\)일 때

 

\(a_n=f(n-1)f(n-2)\cdots f(1)a_{1}\)

 

(2) 양변을 \((n+1)!\)로 나누면 다음과 같다.

 

\(\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{f(n)}{n+1}\cdot \frac{a_n}{n!} \) \(\{\frac{a_n}{n!}\}\)에 대해 점화식을 생각한다.

 

(3) 임의의 자연수 \(n\)에 대해 \(a_n>0, f(n)>0\)이면 밑이 \(c\)인 대수를 취하면 다음과 같다.

 

\(\log_{c}a_{n+1}=\log_{c}f(n)+\log_{c}a_{n}\) \(\log_{c}a_{n}=b_n\)이라 하면 \(b_1=\log_{c}a, b_{n+1}=b_{n}+\log_{c}f(n)\) 수열 \(\{b_n\}\)의 계차수열이 \(\{\log_{c}f(n)\}\)이다. 수열\(\{b_n\}\)의 일반항을 구하면 수열\(\{a_n\}\)의 일반항을 구할 수 있다.

 

연습문제

(1) 두번째 점화식에서 1차식이 아닌 2차식 이상에 대해서도 점화식을 풀 수 있는지 답하여라.

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